数学2 多項式の割り算 問題 18 解説

方針・初手

剰余の定理を用いて、整式を割ったときの余りの条件を数式で表す。割る式が2次式であるため、求める余りを1次以下の整式として文字でおき、恒等式を立てて未定係数を決定する。

解法1

整式 $P(x)$ を $x+1$ で割った余りが $1$ であるから、剰余の定理より

$$P(-1) = 1$$

が成り立つ。同様に、$P(x)$ を $x-2$ で割った余りが $4$ であるから

$$P(2) = 4$$

が成り立つ。

次に、$P(x)$ を2次式 $(x+1)(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とし、余りを $ax+b$（$a$、$b$ は定数）とおく。すると、以下の恒等式が成り立つ。

$$P(x) = (x+1)(x-2)Q(x) + ax+b$$

この式に $x = -1$ を代入すると、

$$P(-1) = -a+b$$

となるため、$P(-1) = 1$ より

$$-a+b = 1$$

を得る。また、この式に $x = 2$ を代入すると、

$$P(2) = 2a+b$$

となるため、$P(2) = 4$ より

$$2a+b = 4$$

を得る。

これら2つの式を連立させて解く。$2a+b=4$ から $-a+b=1$ を辺々引くと、

$$3a = 3$$

となり、$a = 1$ を得る。これを $-a+b=1$ に代入すると、$b = 2$ となる。

したがって、求める余りは $x+2$ である。

解説

整式の割り算と剰余の定理に関する基本的な問題である。割る式が $n$ 次式の場合、余りは $n-1$ 次以下の整式となるため、文字を用いて一般形でおくのが定石である。本問では割る式が $(x+1)(x-2)$ という2次式であるため、余りを1次以下の整式である $ax+b$ とおいて連立方程式に帰着させる。

答え

$x+2$