数学2 多項式の割り算問題 20 解説

方針・初手

(1) は与えられた整式の割り算をそのまま計算する。 (2) は (1) で求めた恒等式に $x=a$ を代入し、$X$ を $Y$ の式で表す。その後、$p, q$ が有理数、$a$ が無理数のとき、$pa+q=0$ ならば $p=0$ かつ $q=0$ となる性質を用いて $X, Y$ を決定する。 (3) は (2) で求めた $Y$ の値から $a$ の2次方程式を導き、無理数であることと正の数であるという条件から解を絞り込む。

解法1

(1) 整式 $x^3 + 3x^2 - 14x + 6$ を $x^2 - 2x$ で割る割り算を実行する。

$$x^3 + 3x^2 - 14x + 6 = (x^2 - 2x)(x + 5) - 4x + 6$$

したがって、商は $x + 5$、余りは $-4x + 6$ である。

(2) (1) で得られた恒等式に $x = a$ を代入すると、以下の式が成り立つ。

$$a^3 + 3a^2 - 14a + 6 = (a^2 - 2a)(a + 5) - 4a + 6$$

ここで、$X = a^3 + 3a^2 - 14a + 6$、$Y = a^2 - 2a$ であるから、これらを代入する。

$$X = Y(a + 5) - 4a + 6$$

この式を無理数 $a$ について整理する。

$$(Y - 4)a + 5Y + 6 - X = 0$$

問題の条件より $X, Y$ はともに有理数であるから、$Y - 4$ および $5Y + 6 - X$ も有理数である。ここで、$Y - 4 \neq 0$ と仮定すると、

$$a = \frac{X - 5Y - 6}{Y - 4}$$

右辺は有理数のみから構成されるため有理数となるが、これは $a$ が無理数であることに矛盾する。したがって、$Y - 4 = 0$ でなければならない。 $Y - 4 = 0$ より $Y = 4$ である。これを元の式に代入すると、

$$0 \cdot a + 5(4) + 6 - X = 0$$

$$26 - X = 0$$

よって、$X = 26$ を得る。

(3) (2) の結果 $Y = 4$ より、以下の2次方程式が得られる。

$$a^2 - 2a = 4$$

$$a^2 - 2a - 4 = 0$$

解の公式を用いてこれを解くと、

$$a = 1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 1 \cdot (-4)} = 1 \pm \sqrt{5}$$

問題の条件「素数の平方根は無理数である」より、$5$ は素数であるため $\sqrt{5}$ は無理数である。したがって、$1 \pm \sqrt{5}$ はいずれも無理数である。また、$a$ は正の無理数である。 $2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、$1 - \sqrt{5} < 0$ であり不適。 $1 + \sqrt{5} > 0$ であるから、条件を満たす。よって、$a = 1 + \sqrt{5}$ である。

解説

高次式の値を求める典型的な問題である。割り算の等式 $A = BQ + R$ を用いて次数を下げる手法は、無理数や虚数が絡む計算において非常に有効である。また、有理数と無理数が混在する等式から未知の有理数を決定する際は、「$p, q$ が有理数、$a$ が無理数のとき、$pa+q=0 \iff p=0$ かつ $q=0$」という性質を用いる。この性質を使う前に、係数が有理数であることの断りと、背理法などによる簡潔な論証を添えることが記述式答案では重要になる。