数学2 多項式の割り算 問題 21 解説

方針・初手

2次式で割った余りを求めるため、余りを1次以下の整式 $ax+b$ とおいて恒等式を立てる。 $x^2+1=0$ となる $x=i$ を代入して実部と虚部を比較する方法か、$x^2=-1$ を利用して次数を下げる方法が有効である。

解法1

整式 $x^{2011}$ を2次式 $x^2+1$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ （$a, b$ は実数）とおく。

$$x^{2011} = (x^2+1)Q(x) + ax + b$$

この恒等式の両辺に $x=i$ （$i$ は虚数単位）を代入すると、

$$i^{2011} = ai + b$$

ここで、$i^2 = -1, i^4 = 1$ であり、$2011 = 4 \times 502 + 3$ であるから、

$$\begin{aligned} i^{2011} &= i^{4 \times 502 + 3} \\ &= (i^4)^{502} \cdot i^3 \\ &= 1^{502} \cdot (-i) \\ &= -i \end{aligned}$$

これを与式に代入して、

$$-i = ai + b$$

$a, b$ は実数であるから、複素数の相等条件より、

$$\begin{cases} a = -1 \\ b = 0 \end{cases}$$

したがって、求める余りは $-x$ である。

解法2

整式 $x^{2011}$ を、次のように変形する。

$$\begin{aligned} x^{2011} &= x \cdot x^{2010} \\ &= x(x^2)^{1005} \end{aligned}$$

ここで、$x^2 = (x^2+1) - 1$ とみなして代入すると、

$$x^{2011} = x\{(x^2+1) - 1\}^{1005}$$

二項定理を用いると、$\{(x^2+1) - 1\}^{1005}$ の展開式の項のうち、最後の項 $(-1)^{1005}$ 以外はすべて $x^2+1$ を因数にもつ。

したがって、ある整式 $M(x)$ を用いて、

$$\{(x^2+1) - 1\}^{1005} = (x^2+1)M(x) - 1$$

と表すことができる。これを元の式に戻すと、

$$\begin{aligned} x^{2011} &= x \{(x^2+1)M(x) - 1\} \\ &= (x^2+1)xM(x) - x \end{aligned}$$

ここで、$xM(x)$ は整式であり、$-x$ は $x^2+1$ の次数（2次）よりも低い1次式であるから、$-x$ が求める余りとなる。

解説

高次式を2次式で割った余りを求める典型問題である。

解法1のように、割る式を0とする複素数を代入して係数比較を行う手法は、非常に汎用性が高く、機械的に答えを導き出すことができる。このとき、商や余りの係数が実数であることを断ったうえで、複素数の相等を用いることが論理的に重要である。

解法2のように、$x^2=-1$ （すなわち割る式を0にする関係式）を利用して強引に次数を下げていく手法も、本問のように割る式が単純な形をしている場合には非常に計算が早く有用である。解答の記述としては、二項定理を用いて「$x^2+1$ でくくれる部分」と「定数部分」に分けることで、厳密に余りを示すことができる。

答え

$-x$