数学2 多項式の割り算問題 22 解説

方針・初手

多項式の割り算の基本である「(割られる式) = (割る式) × (商) + (余り)」の形を作る。余りの次数は割る式の次数より小さくなることに注意する。(2)では二項定理が有効である。(3)や(4)では、前問までの結果をうまく利用して計算量を減らす工夫をする。

解法1

(1)

剰余の定理より、$P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りは $P(1)$ である。

$$P(1) = (1+1)(1+2)^n = 2 \cdot 3^n$$

よって、求める余りは $2 \cdot 3^n$ である。

(2)

二項定理を用いて $(x+2)^n$ を展開する。

$$(x+2)^n = \sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k x^k 2^{n-k} = {}_n\mathrm{C}_0 2^n + {}_n\mathrm{C}_1 2^{n-1} x + {}_n\mathrm{C}_2 2^{n-2} x^2 + \dots + {}_n\mathrm{C}_n x^n$$

このうち、$x^2$ 以上の項はすべて $x^2$ で割り切れる。したがって、求める余りは $x$ の1次以下の項であるから、

$${}_n\mathrm{C}_1 2^{n-1} x + {}_n\mathrm{C}_0 2^n = n 2^{n-1} x + 2^n$$

(3)

(2) の結果から、多項式 $Q(x)$ を用いて次のように表せる。

$$(x+2)^n = x^2 Q(x) + n 2^{n-1} x + 2^n$$

両辺に $x+1$ を掛けると $P(x)$ となる。

$$\begin{aligned} P(x) &= (x+1) \{ x^2 Q(x) + n 2^{n-1} x + 2^n \} \\ &= x^2 (x+1) Q(x) + (x+1) (n 2^{n-1} x + 2^n) \\ &= x^2 (x+1) Q(x) + n 2^{n-1} x^2 + (n 2^{n-1} + 2^n) x + 2^n \end{aligned}$$

$x^2 (x+1) Q(x)$ と $n 2^{n-1} x^2$ はともに $x^2$ で割り切れるので、$P(x)$ を $x^2$ で割った余りは残りの1次以下の部分である。

$$(n 2^{n-1} + 2^n) x + 2^n = (n+2) 2^{n-1} x + 2^n$$

(4)

$P(x)$ を 3次式 $x^2(x-1)$ で割ったときの商を $S(x)$ とすると、余りは 2次以下の多項式であるから、実数 $a, b, c$ を用いて $ax^2+bx+c$ とおける。

$$P(x) = x^2(x-1) S(x) + ax^2+bx+c$$

この等式において、$P(x)$ を $x^2$ で割った余りは、$x^2(x-1) S(x)$ が $x^2$ で割り切れるため、$ax^2+bx+c$ を $x^2$ で割った余りに等しい。 $ax^2+bx+c = a \cdot x^2 + bx+c$ より、この余りは $bx+c$ である。 (3) の結果より、これが $(n+2) 2^{n-1} x + 2^n$ と一致するので、

$$b = (n+2) 2^{n-1}, \quad c = 2^n$$

したがって、$P(x)$ は次のように表せる。

$$P(x) = x^2(x-1) S(x) + ax^2 + (n+2) 2^{n-1} x + 2^n$$

(1) より $P(1) = 2 \cdot 3^n$ である。上の式に $x=1$ を代入すると、

$$\begin{aligned} P(1) &= a + (n+2) 2^{n-1} + 2^n \\ &= a + (n+4) 2^{n-1} \end{aligned}$$

これが $2 \cdot 3^n$ に等しいので、

$$a + (n+4) 2^{n-1} = 2 \cdot 3^n$$

$$a = 2 \cdot 3^n - (n+4) 2^{n-1}$$

よって、求める余りは、

$$\{ 2 \cdot 3^n - (n+4) 2^{n-1} \} x^2 + (n+2) 2^{n-1} x + 2^n$$

解説

整式の割り算に関する典型的な問題である。(2)で二項定理を利用して $x^2$ で割った余りを直接求める発想が鍵となる。また、(4)のように割る式が累乗の因数を持つ場合、「ある式で割った余りをさらに割る」という考え方を用いて余りの設定を工夫すると計算が非常に楽になる。直接 $ax^2+bx+c$ とおいて微分を用いる方法でも解けるが、前問までの誘導に乗ることで簡潔に処理できる構成となっている。