数学2 多項式の割り算問題 23 解説

方針・初手

与えられた条件 $p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3$ から、$p(x)$ の係数 $a, b, c$ を決定する。そのまま代入して連立方程式を立てることも可能であるが、$p(k)=k$ という規則性に着目して因数定理を用いると、計算を大幅に省略できる。後半の割り算についても、因数分解された形を利用することで容易に余りを求めることができる。

解法1

$p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3$ より、$x$ についての方程式 $p(x) - x = 0$ は $x = 1, 2, 3$ を解に持つ。

$p(x)$ は $x^3$ の係数が $1$ の3次式であるから、$p(x) - x$ も $x^3$ の係数が $1$ の3次式である。したがって、因数定理より次のように表せる。

$$p(x) - x = (x-1)(x-2)(x-3)$$

これを変形すると、以下のようになる。

$$p(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + x$$

右辺を展開して整理する。

$$p(x) = (x^2 - 3x + 2)(x-3) + x$$

$$p(x) = x^3 - 3x^2 - 3x^2 + 9x + 2x - 6 + x$$

$$p(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 6$$

これと $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ を係数比較して、以下を得る。

$$a = -6, \quad b = 12, \quad c = -6$$

次に、$p(x)$ を $x-4$ で割った余りを求める。剰余の定理より、求める余りは $p(4)$ である。先ほど求めた因数分解の形を利用すると、計算が容易になる。

$$p(4) = (4-1)(4-2)(4-3) + 4$$

$$p(4) = 3 \cdot 2 \cdot 1 + 4 = 10$$

最後に、$p(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割った余りを求める。恒等式 $p(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + x$ に着目する。

この式は、$p(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割ったときの商が $x-3$、余りが $x$ であることを示している。割る式が2次式であり、余りの $x$ は1次式であるため、条件を満たしている。

よって、求める余りは $x$ である。

解法2

$p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ に $x = 1, 2, 3$ をそれぞれ代入し、条件 $p(1)=1, p(2)=2, p(3)=3$ を用いて連立方程式を立てる。

$$\begin{cases} 1 + a + b + c = 1 \\ 8 + 4a + 2b + c = 2 \\ 27 + 9a + 3b + c = 3 \end{cases}$$

定数項を移項して整理する。

$$\begin{cases} a + b + c = 0 \quad \cdots (1) \\ 4a + 2b + c = -6 \quad \cdots (2) \\ 9a + 3b + c = -24 \quad \cdots (3) \end{cases}$$

$(2) - (1)$ より、以下を得る。

$$3a + b = -6 \quad \cdots (4)$$

$(3) - (2)$ より、以下を得る。

$$5a + b = -18 \quad \cdots (5)$$

$(5) - (4)$ より $2a = -12$ となり、$a = -6$ が求まる。

これを $(4)$ に代入して $-18 + b = -6$ より、$b = 12$ となる。

$a, b$ の値を $(1)$ に代入して $-6 + 12 + c = 0$ より、$c = -6$ となる。

したがって、$p(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 6$ である。

$p(x)$ を $x-4$ で割った余りは、剰余の定理より $p(4)$ である。

$$p(4) = 4^3 - 6 \cdot 4^2 + 12 \cdot 4 - 6 = 64 - 96 + 48 - 6 = 10$$

次に、$p(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割った余りを求める。割る式が2次式であるから、余りは1次以下の整式となる。これを $mx + n$ とおくと、商を $Q(x)$ として次のように表せる。

$$p(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + mx + n$$

この式に $x = 1, 2$ をそれぞれ代入する。

$$\begin{cases} p(1) = m + n \\ p(2) = 2m + n \end{cases}$$

$p(1) = 1, p(2) = 2$ であるから、以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} m + n = 1 \\ 2m + n = 2 \end{cases}$$

下の式から上の式を引くと $m = 1$ となり、上の式に代入して $n = 0$ を得る。

よって、求める余りは $x$ である。

解説

$p(k)=k$ という条件から $p(x)-x=0$ という方程式を構成するアプローチが最大のポイントである。この発想があれば、連立方程式を解く手間を省くことができ、計算ミスを減らすことができる。また、後半の余りを求める設問においても、$p(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + x$ の形を維持したまま処理することで、筆算による割り算を行うことなく即座に解答を導き出せる。