数学2 多項式の割り算問題 25 解説

方針・初手

割る式である $x^3 - x$ を因数分解し、$x(x+1)(x-1)$ となることに着目する。割る式が3次式であるため、求める余りは2次以下の整式となる。これを $ax^2 + bx + c$ とおき、割り算の等式 $A = BQ + R$ を立てて剰余の定理（恒等式への数値代入）を利用する。

解法1

$P(x) = 4x^{101} + 3x^{100} - 2x^{99} + 1$ とおく。

割る式は $x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x+1)(x-1)$ である。 3次式で割ったときの余りは2次以下の整式であるから、これを $ax^2 + bx + c$ （$a, b, c$ は定数）とおく。商を $Q(x)$ とすると、次のような $x$ についての恒等式が成り立つ。

$$P(x) = x(x+1)(x-1)Q(x) + ax^2 + bx + c$$

この恒等式の両辺に $x = 0, 1, -1$ をそれぞれ代入する。

$x = 0$ を代入すると、

$$P(0) = c$$

一方、$P(0) = 4 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 1 = 1$ であるから、

$$c = 1$$

となる。

$x = 1$ を代入すると、

$$P(1) = a + b + c$$

一方、$P(1) = 4 + 3 - 2 + 1 = 6$ であるから、

$$a + b + 1 = 6 \iff a + b = 5$$

となる。

$x = -1$ を代入すると、

$$P(-1) = a - b + c$$

一方、$P(-1) = 4(-1)^{101} + 3(-1)^{100} - 2(-1)^{99} + 1 = -4 + 3 - 2(-1) + 1 = -4 + 3 + 2 + 1 = 2$ であるから、

$$a - b + 1 = 2 \iff a - b = 1$$

となる。

得られた連立方程式

$$\begin{cases} a + b = 5 \\ a - b = 1 \end{cases}$$

を解く。2式を足し合わせると $2a = 6$ より $a = 3$ となる。これを上の式に代入して $3 + b = 5$ より $b = 2$ を得る。

したがって、$a=3, b=2, c=1$ となるため、求める余りは $3x^2 + 2x + 1$ である。

解説

次数が非常に大きい多項式の割り算では、実際に計算を実行することは現実的ではない。このような問題では、割る式が因数分解できることに着目し、「割り算の等式 $A = BQ + R$」を立てて剰余の定理の考え方（恒等式への数値代入法）を用いるのが定石である。割る式が $n$ 次式のとき、余りは $n-1$ 次以下となることに注意して未知数をおくことが重要である。本問では割る式が3次式なので、余りを $ax^2+bx+c$ とおく。