数学2 多項式の割り算問題 26 解説

方針・初手

割る式が3次式であるため、直接割り算を実行して商と余りを $a$ を用いて表す方針が確実である。あるいは、割る式が $x^3+x^2+x+1 = (x^2+1)(x+1)$ と因数分解できることに着目し、複素数範囲での剰余の定理（代入法）を用いることも可能である。ここでは両方のアプローチを示す。

解法1

与えられた5次式を $P(x) = x^5+2x^4+ax^3+3x^2+3x+2$、割る3次式を $D(x) = x^3+x^2+x+1$ とする。 $P(x)$ を $D(x)$ で割ったときの商 $Q(x)$ と余り $R(x)$ を求めるため、直接割り算を行う。

$$\begin{aligned} P(x) &= x^2(x^3+x^2+x+1) + x^4+(a-1)x^3+2x^2+3x+2 \\ &= x^2 D(x) + x(x^3+x^2+x+1) + (a-2)x^3+x^2+2x+2 \\ &= (x^2+x) D(x) + (a-2)(x^3+x^2+x+1) + \{1-(a-2)\}x^2 + \{2-(a-2)\}x + \{2-(a-2)\} \\ &= (x^2+x+a-2) D(x) + (3-a)x^2 + (4-a)x + (4-a) \end{aligned}$$

したがって、商 $Q(x)$ と余り $R(x)$ はそれぞれ次のように表される。

$$Q(x) = x^2+x+a-2$$

$$R(x) = (3-a)x^2 + (4-a)x + (4-a)$$

問題の条件より、$R(x)$ の $x$ の1次の項の係数が $1$ であるから、

$$4-a = 1$$

これを解いて、

$$a = 3$$

このとき、商 $Q(x)$ と余り $R(x)$ は、それぞれ $a=3$ を代入して、

$$Q(x) = x^2+x+1$$

$$R(x) = (3-3)x^2 + 1\cdot x + (4-3) = x+1$$

解法2

割る式 $x^3+x^2+x+1$ は次のように因数分解できる。

$$x^3+x^2+x+1 = x^2(x+1) + (x+1) = (x^2+1)(x+1)$$

割られる式を $P(x) = x^5+2x^4+ax^3+3x^2+3x+2$ とする。 3次式で割ったときの余り $R(x)$ は2次以下の整式である。問題の条件より $R(x)$ の1次の項の係数は $1$ であるから、$R(x) = cx^2+x+d$ （$c, d$ は実数）とおける。割り算の等式は次のように表される。

$$P(x) = (x^2+1)(x+1)Q(x) + cx^2+x+d$$

この恒等式に $x = -1$ を代入する。

$$\begin{aligned} P(-1) &= (-1)^5 + 2(-1)^4 + a(-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 2 \\ &= -1 + 2 - a + 3 - 3 + 2 \\ &= 3 - a \end{aligned}$$

右辺は $c(-1)^2 + (-1) + d = c + d - 1$ となるため、

$$c + d - 1 = 3 - a$$

$$c + d = 4 - a \quad \cdots \text{(i)}$$

次に、$x^2+1 = 0$ の解の一つである $x = i$ （$i$ は虚数単位）を代入する。

$$\begin{aligned} P(i) &= i^5 + 2i^4 + ai^3 + 3i^2 + 3i + 2 \\ &= i + 2 - ai - 3 + 3i + 2 \\ &= 1 + (4-a)i \end{aligned}$$

右辺は $ci^2 + i + d = -c + i + d = (d-c) + i$ となるため、

$$1 + (4-a)i = (d-c) + i$$

$a, c, d$ は実数であるから、両辺の実部と虚部を比較して、

$$d - c = 1 \quad \cdots \text{(ii)}$$

$$4 - a = 1 \quad \cdots \text{(iii)}$$

(iii) より、$a = 3$ である。これを (i) に代入すると $c + d = 1$ となり、(ii) の $d - c = 1$ と連立して解くと、

$$c = 0, \quad d = 1$$

したがって、余り $R(x)$ は、

$$R(x) = 0\cdot x^2 + x + 1 = x + 1$$

最後に商 $Q(x)$ を求める。$a=3$ より、

$$P(x) = x^5+2x^4+3x^3+3x^2+3x+2$$

$$\begin{aligned} (x^3+x^2+x+1)Q(x) &= P(x) - R(x) \\ &= x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1 \end{aligned}$$

右辺を $x^3+x^2+x+1$ の形を作り出しながら変形する（または直接割り算する）と、

$$\begin{aligned} &x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1 \\ &= (x^5+x^4+x^3+x^2) + (x^4+x^3+x^2+x) + (x^3+x^2+x+1) \\ &= x^2(x^3+x^2+x+1) + x(x^3+x^2+x+1) + 1\cdot(x^3+x^2+x+1) \\ &= (x^2+x+1)(x^3+x^2+x+1) \end{aligned}$$

したがって、商は $Q(x) = x^2+x+1$ である。

解説

多項式の割り算において、基本となる等式 $A = BQ + R$ を立てて処理する典型問題である。解法1のように文字を含んだまま直接割り算を（筆算などで）実行する方法は、思考の飛躍がなく計算もそれほど煩雑ではないため、試験会場では最も手堅い選択である。解法2のように剰余の定理を用いる方法は、割る式が $(x^2+1)(x+1)$ と因数分解できることに気付けば、複素数 $i$ を代入することで余りを素早く決定できる。実数係数多項式に虚数を代入したときの「実部と虚部の比較（複素数の相等）」は、上位大学で頻出の強力な手法である。