数学3 微分の基本 問題 1 解説

方針・初手

微分係数の定義 $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$ を利用できる形に式を変形する。その際、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ や $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ といった三角関数の極限の公式を組み合わせる。(イ) については、$f(0)$ を引いて足すことで、微分係数の定義の形を2つ作り出す。

解法1

(ア)

与えられた式を変形すると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \left\{ \frac{f(\sin x) - f(0)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} \right\}$$

となる。$x \to 0$ のとき $\sin x \to 0$ であるから、

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x) - f(0)}{\sin x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(0) = 1$$

また、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

であるから、

$$\lim_{x \to 0} \left\{ \frac{f(\sin x) - f(0)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} \right\} = 1 \cdot 1 = 1$$

したがって、[ア] には $1$ が入る。

(イ)

分子に $-f(0) + f(0)$ を補って、項を2つに分ける。

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(\sin 8x) - f(\tan x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(\sin 8x) - f(0) - \{ f(\tan x) - f(0) \}}{x}$$

$$= \lim_{x \to 0} \left\{ \frac{f(\sin 8x) - f(0)}{x} - \frac{f(\tan x) - f(0)}{x} \right\}$$

それぞれの項について極限を計算する。第1項は、

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(\sin 8x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \left\{ \frac{f(\sin 8x) - f(0)}{\sin 8x} \cdot \frac{\sin 8x}{8x} \cdot 8 \right\}$$

$x \to 0$ のとき $\sin 8x \to 0$ であり、$f'(0) = 1$ であるから、

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(\sin 8x) - f(0)}{\sin 8x} = f'(0) = 1$$

よって、

$$\lim_{x \to 0} \left\{ \frac{f(\sin 8x) - f(0)}{\sin 8x} \cdot \frac{\sin 8x}{8x} \cdot 8 \right\} = 1 \cdot 1 \cdot 8 = 8$$

第2項は、

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(\tan x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \left\{ \frac{f(\tan x) - f(0)}{\tan x} \cdot \frac{\tan x}{x} \right\}$$

$x \to 0$ のとき $\tan x \to 0$ であるから、

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(\tan x) - f(0)}{\tan x} = f'(0) = 1$$

また、$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \right) = 1 \cdot 1 = 1$ であるから、

$$\lim_{x \to 0} \left\{ \frac{f(\tan x) - f(0)}{\tan x} \cdot \frac{\tan x}{x} \right\} = 1 \cdot 1 = 1$$

以上より、求める極限値は、

$$8 - 1 = 7$$

したがって、[イ] には $7$ が入る。

解法2

(ア)

$g(x) = f(\sin x)$ とおく。$g(0) = f(0)$ であるから、求める極限は $g(x)$ の $x=0$ における微分係数 $g'(0)$ に他ならない。

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = g'(0)$$

合成関数の微分法より、

$$g'(x) = f'(\sin x) \cdot \cos x$$

よって、

$$g'(0) = f'(\sin 0) \cdot \cos 0 = f'(0) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1$$

(イ)

$F(x) = f(\sin 8x)$、$G(x) = f(\tan x)$ とおく。$F(0) = f(0)$、$G(0) = f(0)$ であるから、求める極限は次のように変形できる。

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(\sin 8x) - f(\tan x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{F(x) - F(0) - \{G(x) - G(0)\}}{x}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{F(x) - F(0)}{x - 0} - \lim_{x \to 0} \frac{G(x) - G(0)}{x - 0} = F'(0) - G'(0)$$

合成関数の微分法より、

$$F'(x) = f'(\sin 8x) \cdot \cos 8x \cdot 8$$

$$G'(x) = f'(\tan x) \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

したがって、

$$F'(0) = f'(0) \cdot 1 \cdot 8 = 8$$

$$G'(0) = f'(0) \cdot 1 = 1$$

これらより、求める極限値は、

$$F'(0) - G'(0) = 8 - 1 = 7$$

解説

抽象的な関数の極限を求める問題である。$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ という微分係数の定義を正確に理解し、適用できるかが問われている。

(イ) のように、分子に複数の項が含まれている場合は、定数（ここでは $f(0)$）を引いて足すことで、見慣れた微分の定義式に分割する手法が定石である。

解法2のように、合成関数を新たな関数と置き換えて微分の問題に帰着させる考え方は、記述量が減り見通しが良くなるため、実践的で強力な解法である。

答え

[ア] 1

[イ] 7