数学3 微分の基本 問題 2 解説

方針・初手

根号の中にさらに根号が含まれる無理関数の微分である。合成関数の微分法（チェーンルール）を繰り返し用いて丁寧に計算を進める。微分した後の式を整理し、可能な限り簡潔な形にまとめることがポイントとなる。

解法1

与えられた関数 $y = \sqrt{x + \sqrt{1 + x^2}}$ を、$x$ について微分する。

$u = x + \sqrt{1 + x^2}$ とおくと、$y = \sqrt{u}$ となる。 合成関数の微分法により、

$$\begin{aligned} y' &= \frac{d}{dx}\left( \sqrt{u} \right) \\ &= \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \\ &= \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{1 + x^2}}} \cdot \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)' \end{aligned}$$

ここで、$\left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)'$ を計算する。

$$\begin{aligned} \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)' &= 1 + \frac{1}{2\sqrt{1 + x^2}} \cdot (1 + x^2)' \\ &= 1 + \frac{2x}{2\sqrt{1 + x^2}} \\ &= 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \end{aligned}$$

これを通分して整理すると、

$$\begin{aligned} 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} &= \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}} \end{aligned}$$

となる。これを元の $y'$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} y' &= \frac{1}{2\sqrt{x + \sqrt{1 + x^2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}} \\ &= \frac{x + \sqrt{1 + x^2}}{2\sqrt{1 + x^2} \sqrt{x + \sqrt{1 + x^2}}} \end{aligned}$$

ここで、分子の $x + \sqrt{1 + x^2}$ は $\left(\sqrt{x + \sqrt{1 + x^2}}\right)^2$ と見ることができるため、分母の $\sqrt{x + \sqrt{1 + x^2}}$ と約分を行う。

$$\begin{aligned} y' &= \frac{\left(\sqrt{x + \sqrt{1 + x^2}}\right)^2}{2\sqrt{1 + x^2} \sqrt{x + \sqrt{1 + x^2}}} \\ &= \frac{\sqrt{x + \sqrt{1 + x^2}}}{2\sqrt{1 + x^2}} \end{aligned}$$

解説

合成関数の微分法の基本的な計算問題である。計算ミスに気をつけながら、落ち着いて内側の関数を微分していくことが重要である。

この問題の最大のポイントは、微分を実行した後の式の整理である。導関数を求めた直後の式をそのまま答えとするのではなく、分子と分母を見比べて約分できることに気づけるかが問われている。分子に現れる $x + \sqrt{1 + x^2}$ の塊が、分母の根号の中身と全く同じであることに着目すると、すっきりと簡潔な形に変形できる。

答え

$$y' = \frac{\sqrt{x + \sqrt{1 + x^2}}}{2\sqrt{1 + x^2}}$$