東北大学 2023年 理系 第6問 解説

方針・初手

まず

$$ f(x)=-\frac12 x-\frac{4}{6x+1} $$

を微分し、（1） では傾きが $1$ になる接点を求める。

（2） では、線分 $PQ$ 上の点を媒介変数で表して

$$ Y=X+g(x),\qquad g(x)=f(x)-x $$

の形に直し、固定した $X$ に対する $g(x)$ の最大値・最小値を調べる。

解法1

（1） 接線の方程式

$f(x)$ を微分すると

$$ f'(x)=-\frac12+\frac{24}{(6x+1)^2} $$

である。

傾きが $1$ であるから

$$ -\frac12+\frac{24}{(6x+1)^2}=1 $$

より

$$ \frac{24}{(6x+1)^2}=\frac32 $$

すなわち

$$ (6x+1)^2=16 $$

となる。したがって

$$ 6x+1=\pm 4 $$

より

$$ x=\frac12,\ -\frac56 $$

を得る。接点の $x$ 座標は正であるから

$$ x=\frac12 $$

である。

このとき

$$ f\left(\frac12\right) =-\frac12\cdot\frac12-\frac{4}{6\cdot\frac12+1} =-\frac14-1 =-\frac54 $$

であるから、求める接線は

$$ y+\frac54=1\left(x-\frac12\right) $$

すなわち

$$ y=x-\frac74 $$

である。

（2） 図形 $S$ の境界

線分 $PQ$ 上の点を、$0\le t\le 1$ を用いて

$$ (X,Y)=(x+t,\ f(x)+t) $$

と表す。

すると

$$ Y=(x+t)+f(x)-x=X+g(x) $$

ただし

$$ g(x)=f(x)-x=-\frac32 x-\frac{4}{6x+1} $$

である。

ここで

$$ g'(x)=f'(x)-1=-\frac32+\frac{24}{(6x+1)^2} $$

より、

$$ g'(x) \begin{cases} >0 & \left(0\le x<\frac12\right),\\ =0 & \left(x=\frac12\right),\\ <0 & \left(x>\frac12\right) \end{cases} $$

となる。したがって $g(x)$ は $x=\dfrac12$ で最大となる。

また、$X=x+t$ かつ $0\le t\le 1$ であるから、固定した $X$ に対して $x$ の動く範囲は

$$ \begin{cases} 0\le x\le X & (0\le X\le 1),\\ X-1\le x\le X & (1\le X\le 2),\\ X-1\le x\le 2 & (2\le X\le 3) \end{cases} $$

である。

以下、上側境界と下側境界を求める。

上側境界

(i)

$0\le X\le \dfrac12$ では、$g$ は増加中なので最大は $x=X$ で与えられる。 よって

$$ Y=X+g(X)=f(X) $$

である。

(ii)

$\dfrac12\le X\le \dfrac32$ では、区間内に $x=\dfrac12$ を含み、そこが最大である。 したがって

$$ Y=X+g\left(\frac12\right) =X-\frac74 $$

である。これは （1） で求めた接線である。

(iii)

$\dfrac32\le X\le 3$ では、区間内で $x\ge \dfrac12$ となり、$g$ は減少するから最大は左端 $x=X-1$ で与えられる。 したがって

$$ Y=X+g(X-1)=f(X-1)+1 $$

である。

下側境界

まず

$$ g(0)=-4 $$

であり、

$$ g(X)=g(0) $$

を解くと

$$ -\frac32X-\frac{4}{6X+1}=-4 $$

より

$$ X=0,\ \frac52 $$

を得る。したがって $0\le X\le 1$ では常に $g(X)\ge g(0)$ であるから、最小は $x=0$ で与えられる。 よって

$$ Y=X+g(0)=X-4 $$

である。

次に、$1\le X\le 2$ では端点 $x=X-1,\ X$ のどちらで最小になるかを比べる。

$$ g(X-1)-g(X) =\frac32-\frac{24}{(6X-5)(6X+1)} $$

であるから、

$$ g(X-1)=g(X) $$

は

$$ \frac32=\frac{24}{(6X-5)(6X+1)} $$

と同値であり、

$$ (6X-5)(6X+1)=16 $$

より

$$ X=\frac76,\ -\frac12 $$

を得る。したがって $1\le X\le 2$ では

• $1\le X\le \dfrac76$ で $g(X-1)\le g(X)$
• $\dfrac76\le X\le 2$ で $g(X)\le g(X-1)$

となる。

よって

• $1\le X\le \dfrac76$ では最小は $x=X-1$ で与えられ、

$$ Y=X+g(X-1)=f(X-1)+1 $$

• $\dfrac76\le X\le 2$ では最小は $x=X$ で与えられ、

$$ Y=X+g(X)=f(X) $$

である。

さらに、$2\le X\le 3$ では $x$ の範囲は $[X-1,2]$ であり、この区間では $g$ は減少するから最小は右端 $x=2$ で与えられる。 よって

$$ Y=X+g(2) =X-\frac{43}{13} $$

である。

以上より、図形 $S$ は次の曲線・直線で囲まれる。

上側境界：

• $y=f(x)\quad \left(0\le x\le \dfrac12\right)$
• $y=x-\dfrac74\quad \left(\dfrac12\le x\le \dfrac32\right)$
• $y=f(x-1)+1\quad \left(\dfrac32\le x\le 3\right)$

下側境界：

• $y=x-4\quad \left(0\le x\le 1\right)$
• $y=f(x-1)+1\quad \left(1\le x\le \dfrac76\right)$
• $y=f(x)\quad \left(\dfrac76\le x\le 2\right)$
• $y=x-\dfrac{43}{13}\quad \left(2\le x\le 3\right)$

したがって面積は

$$ \begin{aligned} \text{Area}(S) ={}&\int_0^{1/2}\left\{f(X)-(X-4)\right\}\,dX +\int_{1/2}^{1}\left\{\left(X-\frac74\right)-(X-4)\right\}\,dX\\ &+\int_{1}^{7/6}\left\{\left(X-\frac74\right)-\left(f(X-1)+1\right)\right\}\,dX +\int_{7/6}^{3/2}\left\{\left(X-\frac74\right)-f(X)\right\}\,dX\\ &+\int_{3/2}^{2}\left\{f(X-1)+1-f(X)\right\}\,dX +\int_{2}^{3}\left\{f(X-1)+1-\left(X-\frac{43}{13}\right)\right\}\,dX. \end{aligned} $$

これを順に計算すると、

$$ \int_0^{1/2}\left\{f(X)-(X-4)\right\}\,dX =\frac{29}{16}-\frac43\log 2, $$

$$ \int_{1/2}^{1}\left\{\left(X-\frac74\right)-(X-4)\right\}\,dX =\frac98, $$

$$ \int_{1}^{7/6}\left\{\left(X-\frac74\right)-\left(f(X-1)+1\right)\right\}\,dX =-\frac{13}{48}+\frac23\log 2, $$

$$ \int_{7/6}^{3/2}\left\{\left(X-\frac74\right)-f(X)\right\}\,dX =\frac{1}{12}+\frac23\log\frac54, $$

$$ \int_{3/2}^{2}\left\{f(X-1)+1-f(X)\right\}\,dX =\frac34+\frac23\log\frac{26}{35}, $$

$$ \int_{2}^{3}\left\{f(X-1)+1-\left(X-\frac{43}{13}\right)\right\}\,dX =\frac{55}{52}-\frac23\log\frac{13}{7} $$

となる。

よって

$$ \begin{aligned} \text{Area}(S) &=\left(\frac{29}{16}-\frac43\log 2\right) +\frac98 +\left(-\frac{13}{48}+\frac23\log 2\right) +\left(\frac{1}{12}+\frac23\log\frac54\right)\\ &\qquad +\left(\frac34+\frac23\log\frac{26}{35}\right) +\left(\frac{55}{52}-\frac23\log\frac{13}{7}\right)\\ &=\frac{237}{52}-\frac43\log 2. \end{aligned} $$

解説

この問題の要点は、線分 $PQ$ 上の点を

$$ (X,Y)=(x+t,\ f(x)+t) $$

と置くことで、$Y=X+g(x)$ の形に直せることである。 固定した $X$ に対しては、許される $x$ の区間の中で $g(x)$ の最大値・最小値を調べれば、図形 $S$ の上側境界と下側境界が決まる。

特に、$g(x)=f(x)-x$ が $x=\dfrac12$ で最大になるため、上側境界の一部が （1） で求めた接線

$$ y=x-\frac74 $$

になる。 下側境界は単に単調性だけでは決まらず、端点同士の比較が必要になるので、$g(X-1)$ と $g(X)$ の大小をきちんと比べることが大切である。

答え

$$ \text{(1)}\quad y=x-\frac74 $$

$$ \text{(2)}\quad \begin{cases} \text{上側境界}:\\ \ y=f(x)\ \left(0\le x\le \frac12\right),\\ y=x-\frac74\ \left(\frac12\le x\le \frac32\right),\\ y=f(x-1)+1\ \left(\frac32\le x\le 3\right),\\[1mm] \text{下側境界}:\\ \ y=x-4\ \left(0\le x\le 1\right),\\ y=f(x-1)+1\ \left(1\le x\le \frac76\right),\\ y=f(x)\ \left(\frac76\le x\le 2\right),\\ y=x-\frac{43}{13}\ \left(2\le x\le 3\right). \end{cases} $$

$$ \text{面積}=\frac{237}{52}-\frac43\log 2 $$