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数学3 微分の基本問題 52 解説

方針・初手

$y = e^x \cos x$ を微分し、三角関数の合成を用いて $y^{(1)}$ の形を求める。
その結果から、1回微分するごとの係数と位相の変化の規則性を見出し、$n$ 次導関数を推測する。
後半の $y = e^x (\cos x + \sin x)$ についても、最初に三角関数の合成を行い、同じ規則性を適用する。

解法1

$y = e^x \cos x$ の第1次導関数 $y^{(1)}$ を求める。積の微分法より、

$$\begin{aligned} y^{(1)} &= (e^x)' \cos x + e^x (\cos x)' \\ &= e^x \cos x - e^x \sin x \\ &= e^x (\cos x - \sin x) \end{aligned}$$

となる。ここで三角関数の合成を用いると、

$$\begin{aligned} y^{(1)} &= \sqrt{2} e^x \left( \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ &= \sqrt{2} e^x \left( \cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} \right) \\ &= \sqrt{2} e^x \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \end{aligned}$$

となる。したがって、アに当てはまるのは $\frac{1}{4}$ である。

この結果から、「$e^x \cos(x + \alpha)$ の形の関数は、1回微分するごとに係数が $\sqrt{2}$ 倍され、$\cos$ の位相が $\frac{\pi}{4}$ 進む」という性質をもつことがわかる。これを一般の $n$ 回微分に拡張すると、

$$y^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x \cos \left( x + \frac{n}{4} \pi \right)$$

と推測できる。（厳密には数学的帰納法によって証明される）したがって、イに当てはまるのは $(\sqrt{2})^n$、ウに当てはまるのは $\frac{n}{4}$ である。

次に、$y = e^x (\cos x + \sin x)$ について考える。まず、括弧内を $\sin$ の形で合成する。

$$\begin{aligned} y &= e^x (\sin x + \cos x) \\ &= \sqrt{2} e^x \left( \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ &= \sqrt{2} e^x \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \end{aligned}$$

ここで、$g(x) = e^x \sin(x + \alpha)$ の微分を考えると、

$$\begin{aligned} g'(x) &= e^x \sin(x + \alpha) + e^x \cos(x + \alpha) \\ &= \sqrt{2} e^x \sin \left( x + \alpha + \frac{\pi}{4} \right) \end{aligned}$$

となり、$\sin$ の場合も同様に「1回微分するごとに係数が $\sqrt{2}$ 倍され、位相が $\frac{\pi}{4}$ 進む」ことがわかる。

よって、元の関数 $y = \sqrt{2} e^x \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)$ を $n$ 回微分すると、

$$\begin{aligned} y^{(n)} &= \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2})^n e^x \sin \left( x + \frac{\pi}{4} + \frac{n}{4} \pi \right) \\ &= (\sqrt{2})^{n+1} e^x \sin \left( x + \frac{n+1}{4} \pi \right) \end{aligned}$$

となる。したがって、エに当てはまるのは $(\sqrt{2})^{n+1}$、オに当てはまるのは $\frac{n+1}{4}$ である。

解法2

後半の $y = e^x (\cos x + \sin x)$ について、$y = e^x \sin x$ の導関数を利用する別解を示す。

$z = e^x \sin x$ とおくと、その第1次導関数 $z^{(1)}$ は、

$$\begin{aligned} z^{(1)} &= (e^x)' \sin x + e^x (\sin x)' \\ &= e^x \sin x + e^x \cos x \\ &= e^x (\cos x + \sin x) \end{aligned}$$

となり、問題で与えられた関数 $y$ に一致する。すなわち $y = z^{(1)}$ であるから、$y$ の $n$ 次導関数は $z$ の $(n+1)$ 次導関数に等しい。

$$y^{(n)} = z^{(n+1)}$$

ここで、$z$ を解法1と同様に合成して微分していくことを考える。

$$\begin{aligned} z^{(1)} &= e^x (\sin x + \cos x) \\ &= \sqrt{2} e^x \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \end{aligned}$$

同様の規則性により、$z$ の $k$ 次導関数は、

$$z^{(k)} = (\sqrt{2})^k e^x \sin \left( x + \frac{k}{4} \pi \right)$$

となる。したがって、求める $y^{(n)}$ は $z^{(n+1)}$ であるから、

$$\begin{aligned} y^{(n)} &= (\sqrt{2})^{n+1} e^x \sin \left( x + \frac{n+1}{4} \pi \right) \end{aligned}$$

となる。

解説

$e^{ax} \cos(bx+c)$ や $e^{ax} \sin(bx+c)$ の高次導関数を求める問題は、大学入試における頻出テーマである。これらは1回微分するごとに「係数が $\sqrt{a^2+b^2}$ 倍され、位相が $\alpha$ だけ進む（ただし $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$）」という規則性をもつ。

この規則性を知っていれば、三角関数の合成を1回行うだけで $n$ 次導関数の形を容易に見抜くことができる。記述式答案の場合は数学的帰納法で証明を添えることが望ましいが、本問のような空所補充問題では規則性をそのまま適用して素早く解答を導き出したい。