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数学3 微分の基本問題 53 解説

方針・初手

(1) は $x=3$ における関数の連続性と微分可能性の定義に従い、極限を計算して定数 $a, b$ を決定する。右側極限と左側極限をそれぞれ求め、それらが一致することを利用する。 (2) は定まった関数を用いて接線の方程式を求め、囲まれた図形の面積および回転体の体積を定積分で計算する。特に面積の計算では、$x$ 軸方向の積分を行うと区間が分割されて計算が煩雑になるため、$y$ 軸方向の積分を検討するとよい。

解法1

(1) (a) 関数 $f(x)$ が $x=3$ で連続であるための条件は、

$$\lim_{x \to 3-0} f(x) = \lim_{x \to 3+0} f(x) = f(3)$$

が成り立つことである。 $x \leqq 3$ のとき $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$ であるから、

$$\lim_{x \to 3-0} f(x) = f(3) = e^{\frac{3}{3}} = e$$

また、$x > 3$ のとき $f(x) = a\sqrt{2x-2} + b$ であるから、

$$\lim_{x \to 3+0} f(x) = \lim_{x \to 3+0} (a\sqrt{2x-2} + b) = a\sqrt{2 \cdot 3 - 2} + b = 2a + b$$

したがって、$2a + b = e$ となり、$b = e - 2a$ である。

(b) 平均変化率 $g(h) = \frac{f(3+h) - f(3)}{h}$ について考える。 $h > 0$ のとき、$3+h > 3$ であるから、

$$\begin{aligned} g(h) &= \frac{a\sqrt{2(3+h)-2} + b - e}{h} \\ &= \frac{a\sqrt{2h+4} + (e - 2a) - e}{h} \\ &= \frac{a(\sqrt{2h+4} - 2)}{h} \end{aligned}$$

これより、$h \to +0$ の極限は分子の有理化を行って、

$$\begin{aligned} \lim_{h \to +0} g(h) &= \lim_{h \to +0} \frac{a(\sqrt{2h+4} - 2)}{h} \\ &= \lim_{h \to +0} \frac{a(2h+4 - 4)}{h(\sqrt{2h+4} + 2)} \\ &= \lim_{h \to +0} \frac{2a}{\sqrt{2h+4} + 2} = \frac{a}{2} \end{aligned}$$

$h < 0$ のとき、$3+h < 3$ であるから、

$$\begin{aligned} g(h) &= \frac{e^{\frac{3+h}{3}} - e}{h} \\ &= \frac{e \cdot e^{\frac{h}{3}} - e}{h} \\ &= \frac{e(e^{\frac{h}{3}} - 1)}{h} \end{aligned}$$

これより、$h \to -0$ の極限は、$t = \frac{h}{3}$ とおくと $h \to -0$ のとき $t \to -0$ となることから、

$$\begin{aligned} \lim_{h \to -0} g(h) &= \lim_{t \to -0} \frac{e(e^t - 1)}{3t} \\ &= \frac{e}{3} \lim_{t \to -0} \frac{e^t - 1}{t} = \frac{e}{3} \cdot 1 = \frac{e}{3} \end{aligned}$$

関数 $f(x)$ が $x=3$ で微分可能であるための条件は、

$$\lim_{h \to +0} g(h) = \lim_{h \to -0} g(h)$$

が成り立つことである。よって、$\frac{a}{2} = \frac{e}{3}$ より $a = \frac{2}{3}e$ である。このとき $b = e - 2 \cdot \frac{2}{3}e = -\frac{1}{3}e$ である。

(2) (a) (1) より微分係数は $f'(3) = \frac{e}{3}$ であるから、曲線上の点 $(3, f(3))$ すなわち $(3, e)$ における接線 $\ell$ の方程式は、

$$y - e = \frac{e}{3}(x - 3)$$

$$y = \frac{e}{3}x$$

である。

(b) 接線 $\ell: y = \frac{e}{3}x$ と直線 $y = \frac{5}{3}e$ の交点の $x$ 座標は、$x = 5$ である。また、曲線 $y = \frac{2}{3}e\sqrt{2x-2} - \frac{1}{3}e$ ($x > 3$) と直線 $y = \frac{5}{3}e$ の交点の $x$ 座標は、

$$\frac{2}{3}e\sqrt{2x-2} - \frac{1}{3}e = \frac{5}{3}e$$

$$2\sqrt{2x-2} = 6$$

$$\sqrt{2x-2} = 3$$

両辺を2乗して $2x - 2 = 9$ より、$x = \frac{11}{2}$ となる。ここで、面積を求めるために $y$ 軸方向の積分を用いる。曲線の方程式を $x$ について解くと、

$$y + \frac{1}{3}e = \frac{2}{3}e\sqrt{2x-2}$$

$$\sqrt{2x-2} = \frac{3y + e}{2e}$$

両辺正であるから2乗して整理すると、

$$x = \frac{(3y+e)^2}{8e^2} + 1$$

接線の方程式を $x$ について解くと、$x = \frac{3}{e}y$ である。囲まれた領域は $e \leqq y \leqq \frac{5}{3}e$ の範囲にあり、右側が曲線、左側が接線である。被積分関数は、

$$\begin{aligned} \left( \frac{(3y+e)^2}{8e^2} + 1 \right) - \frac{3}{e}y &= \frac{9y^2 + 6ey + e^2}{8e^2} + 1 - \frac{24ey}{8e^2} \\ &= \frac{9y^2 - 18ey + 9e^2}{8e^2} \\ &= \frac{9}{8e^2}(y - e)^2 \end{aligned}$$

となる。したがって求める面積 $S$ は、

$$\begin{aligned} S &= \int_{e}^{\frac{5}{3}e} \frac{9}{8e^2}(y - e)^2 dy \\ &= \frac{9}{8e^2} \left[ \frac{(y - e)^3}{3} \right]_{e}^{\frac{5}{3}e} \\ &= \frac{3}{8e^2} \left( \frac{5}{3}e - e \right)^3 \\ &= \frac{3}{8e^2} \left( \frac{2}{3}e \right)^3 \\ &= \frac{3}{8e^2} \cdot \frac{8e^3}{27} = \frac{e}{9} \end{aligned}$$

(c) 求める立体の体積 $V$ は、曲線 $y = e^{\frac{x}{3}}$ と接線 $\ell: y = \frac{e}{3}x$、および $y$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転させたものである。接点 $(3, e)$ において、区間 $0 \leqq x \leqq 3$ では $e^{\frac{x}{3}} \geqq \frac{e}{3}x \geqq 0$ が成り立つ。したがって、

$$\begin{aligned} V &= \pi \int_{0}^{3} \left\{ \left( e^{\frac{x}{3}} \right)^2 - \left( \frac{e}{3}x \right)^2 \right\} dx \\ &= \pi \int_{0}^{3} \left( e^{\frac{2}{3}x} - \frac{e^2}{9}x^2 \right) dx \\ &= \pi \left[ \frac{3}{2}e^{\frac{2}{3}x} - \frac{e^2}{27}x^3 \right]_{0}^{3} \\ &= \pi \left\{ \left( \frac{3}{2}e^2 - \frac{e^2}{27} \cdot 27 \right) - \left( \frac{3}{2} - 0 \right) \right\} \\ &= \pi \left( \frac{3}{2}e^2 - e^2 - \frac{3}{2} \right) \\ &= \frac{e^2 - 3}{2} \pi \end{aligned}$$

解法2

(2)(b)の別解（$x$ について積分する解法） 求める面積 $S$ は、区間 $3 \leqq x \leqq 5$ では接線 $\ell$ から曲線 $f(x)$ を引き、区間 $5 \leqq x \leqq \frac{11}{2}$ では直線 $y = \frac{5}{3}e$ から曲線 $f(x)$ を引いたものの積分として求められる。

$$S = \int_{3}^{5} \left( \frac{e}{3}x - f(x) \right) dx + \int_{5}^{\frac{11}{2}} \left( \frac{5}{3}e - f(x) \right) dx$$

ここで、$F(x) = \int f(x) dx = \int \left( \frac{2}{3}e\sqrt{2x-2} - \frac{1}{3}e \right) dx = \frac{2}{9}e(2x-2)^{\frac{3}{2}} - \frac{e}{3}x$ であるから、

$$\begin{aligned} \int_{3}^{5} f(x) dx &= F(5) - F(3) \\ &= \left( \frac{2}{9}e \cdot 8^{\frac{3}{2}} - \frac{5}{3}e \right) - \left( \frac{2}{9}e \cdot 4^{\frac{3}{2}} - e \right) \\ &= \frac{32\sqrt{2} - 22}{9}e \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_{5}^{\frac{11}{2}} f(x) dx &= F\left(\frac{11}{2}\right) - F(5) \\ &= \left( \frac{2}{9}e \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{11}{6}e \right) - \left( \frac{32\sqrt{2}e}{9} - \frac{5}{3}e \right) \\ &= \frac{105 - 64\sqrt{2}}{18}e \end{aligned}$$

これらを元の式に代入して計算すると、

$$\begin{aligned} S &= \left[ \frac{e}{6}x^2 \right]_{3}^{5} - \frac{32\sqrt{2} - 22}{9}e + \frac{5}{3}e \cdot \frac{1}{2} - \frac{105 - 64\sqrt{2}}{18}e \\ &= \frac{8}{3}e - \frac{32\sqrt{2} - 22}{9}e + \frac{5}{6}e - \frac{105 - 64\sqrt{2}}{18}e \\ &= \left( \frac{48 - 64\sqrt{2} + 44 + 15 - 105 + 64\sqrt{2}}{18} \right)e \\ &= \frac{2}{18}e = \frac{e}{9} \end{aligned}$$

解説

微積分の典型的な計算問題である。前半の(1)では、絶対値や場合分けされた関数における「連続性」と「微分可能性」の定義を正しく式に起こす力が問われている。$\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$ というネイピア数の定義に帰着させる極限の処理は頻出である。後半の(2)(b)における面積計算は、$x$ で積分しようとすると関数が切り替わるため区間を2つに分ける必要があり、根号を含む積分計算が非常に煩雑になる。グラフの概形を把握し、「$y$ について積分する」という発想に切り替えることで、被積分関数が $(y-e)^2$ という極めて簡素な形にまとまり、計算ミスを防ぐことができる。