数学3 グラフ・増減・極値問題 1 解説

方針・初手

(1) は、関数が $x=0$ で極値をとるための必要条件である $f'(0)=0$ および $f(0)=3$ から定数 $a, b$ の値を求める。その後、求めた値のときに実際に極値をとるか（十分性の確認）を調べる。 (2) は、(1) で定めた $a, b$ を用いて関数を確定させ、第1次導関数 $f'(x)$ と第2次導関数 $f''(x)$ を計算して増減と凹凸の表を作る。定義域の端での極限も調べ、グラフの概形を把握する。

解法1

(1)

与えられた関数は $f(x) = x^2 + ax + b + 6\log(1+x)$ である。これを $x$ で微分すると、

$$f'(x) = 2x + a + \frac{6}{1+x}$$

となる。関数 $f(x)$ が $x=0$ で極値 $3$ をとるための必要条件は、$f(0) = 3$ かつ $f'(0) = 0$ である。

$$\begin{cases} f(0) = 0 + 0 + b + 6\log 1 = b = 3 \\ f'(0) = 0 + a + \frac{6}{1} = a + 6 = 0 \end{cases}$$

これを解いて、$a = -6, b = 3$ を得る。

次に、このとき関数が実際に $x=0$ で極値 $3$ をとるかを確認する。 $a = -6, b = 3$ のとき、

$$f(x) = x^2 - 6x + 3 + 6\log(1+x)$$

$$f'(x) = 2x - 6 + \frac{6}{1+x} = \frac{(2x-6)(1+x)+6}{1+x} = \frac{2x^2 - 4x}{1+x} = \frac{2x(x-2)}{1+x}$$

定義域 $x > -1$ において、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ のときである。 $x=0$ の前後で $f'(x)$ の符号が正から負に変わるため、極大値 $3$ をとることが確認できる。したがって、求める値は $a = -6, b = 3$ である。

(2)

(1) より、$f(x) = x^2 - 6x + 3 + 6\log(1+x)$ であり、$f'(x) = \frac{2x^2 - 4x}{1+x}$ である。さらに $f''(x)$ を計算する。商の微分公式を用いて、

$$\begin{aligned} f''(x) &= \frac{(4x-4)(1+x) - (2x^2-4x) \cdot 1}{(1+x)^2} \\ &= \frac{4x^2 - 4 - 2x^2 + 4x}{(1+x)^2} \\ &= \frac{2x^2 + 4x - 4}{(1+x)^2} \\ &= \frac{2(x^2 + 2x - 2)}{(1+x)^2} \end{aligned}$$

$f''(x) = 0$ とすると、$x^2 + 2x - 2 = 0$ より $x = -1 \pm \sqrt{3}$。定義域 $x > -1$ より、$x = -1 + \sqrt{3}$ である。 $0 < -1 + \sqrt{3} < 2$ に注意して増減・凹凸表を作成する。

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$-1+\sqrt{3}$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f''(x)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$ 上に凸	$3$	$\searrow$ 上に凸	変曲点	$\searrow$ 下に凸	極小	$\nearrow$ 下に凸

各点の $y$ 座標を計算する。 $x=2$ のとき、極小値は、

$$f(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 3 + 6\log 3 = -5 + 6\log 3$$

$x = -1 + \sqrt{3}$ のとき、変曲点の $y$ 座標は、

$$\begin{aligned} f(-1+\sqrt{3}) &= (-1+\sqrt{3})^2 - 6(-1+\sqrt{3}) + 3 + 6\log(1 - 1 + \sqrt{3}) \\ &= (4 - 2\sqrt{3}) + 6 - 6\sqrt{3} + 3 + 6\log\sqrt{3} \\ &= 13 - 8\sqrt{3} + 3\log 3 \end{aligned}$$

また、境界における極限を調べる。

$$\lim_{x \to -1+0} f(x) = \lim_{x \to -1+0} \{x^2 - 6x + 3 + 6\log(1+x)\} = -\infty$$

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$

したがって、$y=f(x)$ のグラフは、$x=-1$ を漸近線とし、$(0,3)$ で極大となり、$(-1+\sqrt{3}, 13 - 8\sqrt{3} + 3\log 3)$ で変曲点を迎え、$(2, -5 + 6\log 3)$ で極小となる曲線を描く。

解説

(1) では「極値をとるならば微分係数が $0$ になる」という必要条件から未定係数を求め、それが実際に極値の条件を満たしているか（十分性）を確かめる手順が重要である。逆の確認を忘れると減点対象になりうるため注意が必要である。 (2) は微分関数の計算と増減・凹凸表の作成という標準的な微分の応用問題である。計算量がやや多いため、$f''(x)$ の計算でのミスに注意したい。また、グラフを描く際には定義域の境界における極限（特に $\log$ を含むため $x \to -1+0$ における $-\infty$ への発散）を調べ、漸近線の存在を明確にすることがポイントとなる。