数学3 グラフ・増減・極値問題 2 解説

方針・初手

与えられたグラフが通る3点の座標を関数に代入し、パラメータについての関係式を導きます。さらに、$x=-1$ で極大値をとるという条件から $f'(-1)=0$ を立式し、得られた連立方程式から未知数を特定します。求めたパラメータが実際に極大値の条件を満たすかどうかの確認（十分性の確認）も忘れずに行います。

解法1

$y = f(x) = \alpha(x - \beta)^n e^{\gamma x}$ とおく。グラフが点 $(1, 0)$ を通ることから、

$$f(1) = \alpha(1 - \beta)^n e^{\gamma} = 0$$

が成り立つ。ここで $\alpha = 0$ とすると $f(x) = 0$ となり、グラフが点 $(0, e)$ を通ることに矛盾する。また、$e^{\gamma} > 0$ であるから、

$$1 - \beta = 0 \iff \beta = 1$$

これにより、$f(x) = \alpha(x - 1)^n e^{\gamma x}$ となる。

次に、グラフが点 $(0, e)$ を通ることから、

$$f(0) = \alpha(-1)^n = e$$

さらに、グラフが点 $\left(-1, \frac{16}{e}\right)$ を通ることから、

$$f(-1) = \alpha(-2)^n e^{-\gamma} = \frac{16}{e}$$

上式を変形すると、

$$\alpha(-1)^n \cdot 2^n e^{-\gamma} = 16 e^{-1}$$

これに $\alpha(-1)^n = e$ を代入して整理する。

$$e \cdot 2^n e^{-\gamma} = 16 e^{-1}$$

$$2^n e^{1-\gamma} = 2^4 e^{-1}$$

次に、$f(x)$ を $x$ で微分する。

$$f'(x) = \alpha n(x - 1)^{n-1} e^{\gamma x} + \alpha(x - 1)^n \cdot \gamma e^{\gamma x}$$

$$f'(x) = \alpha(x - 1)^{n-1} e^{\gamma x} \{n + \gamma(x - 1)\}$$

$x = -1$ で極大になるためには、少なくとも $f'(-1) = 0$ でなければならない。 $\alpha \neq 0$、$e^{-\gamma} > 0$ であり、$n$ は自然数であるため $(-2)^{n-1} \neq 0$ となることから、

$$n + \gamma(-1 - 1) = 0$$

$$n - 2\gamma = 0 \iff \gamma = \frac{n}{2}$$

これを先ほど導いた指数方程式 $2^n e^{1-\gamma} = 2^4 e^{-1}$ に代入する。

$$2^n e^{1 - \frac{n}{2}} = 2^4 e^{-1}$$

両辺が正であるから、両辺の自然対数をとると、

$$n \log 2 + 1 - \frac{n}{2} = 4 \log 2 - 1$$

$$(n - 4) \log 2 - \frac{n - 4}{2} = 0$$

$$(n - 4) \left( \log 2 - \frac{1}{2} \right) = 0$$

ここで、もし $\log 2 = \frac{1}{2}$ であると仮定すると $2 = e^{\frac{1}{2}}$ より $4 = e$ となるが、これは自然対数の底 $e$ ($2.71\cdots$) の値に矛盾する。したがって $\log 2 - \frac{1}{2} \neq 0$ であり、

$$n - 4 = 0 \iff n = 4$$

$n = 4$ のとき、$\gamma = \frac{4}{2} = 2$ となる。また、$\alpha(-1)^4 = e$ より $\alpha = e$ である。

最後に、これらの値が極大の条件を満たすか確認する。 $\alpha = e, \beta = 1, \gamma = 2, n = 4$ のとき、

$$f(x) = e(x - 1)^4 e^{2x} = (x - 1)^4 e^{2x+1}$$

$$f'(x) = 4(x - 1)^3 e^{2x+1} + (x - 1)^4 \cdot 2e^{2x+1} = 2(x - 1)^3 (x + 1) e^{2x+1}$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 1$ のときである。 $x = -1$ の前後において、$x < -1$ では $(x-1)^3 < 0$, $x+1 < 0$ より $f'(x) > 0$ であり、$-1 < x < 1$ では $(x-1)^3 < 0$, $x+1 > 0$ より $f'(x) < 0$ となる。よって、$f(x)$ は $x = -1$ で増加から減少に転じ、確かに極大値をとる。

以上より、求める値は $\alpha = e, \beta = 1, \gamma = 2, n = 4$ となる。

解説

通る点の座標と極値の条件を数式に翻訳して連立方程式を解く、微積分における標準的な未定係数決定問題です。得られた方程式 $2^n e^{1 - \frac{n}{2}} = 2^4 e^{-1}$ を解く際、指数部分の比較から直感的に $n=4$ と判断するのではなく、両辺の対数をとって「$n=4$ 以外に解がないこと」を論理的に示すのが安全な手順です。また、必要条件 $f'(-1)=0$ から候補を求めたあとは、実際に $x=-1$ の前後で導関数 $f'(x)$ の符号が正から負に変化し、極大値をとるという十分条件の確認を行うことで、答案としての完成度が高まります。