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数学3 応用問題 18 解説

注意

画像の一部が不鮮明で、特に線分 $\text{PQ}$ の方程式の分母が $\sqrt{a+bt^2}$ のようにも見えるが、解答欄に $c = [\text{エ}]$ が存在することから、この部分は $\sqrt{a+bt^c}$ であると解釈して解答解説を作成した。

方針・初手

動点 $\text{P}, \text{Q}$ はそれぞれ $x$ 軸、$y$ 軸上にあり、$\text{PQ} = 1$ を保ちながら動く。第1象限において $\text{P}(t, 0)$ とおくと、三平方の定理から $\text{Q}$ の座標が決まる。これにより線分 $\text{PQ}$ を含む直線の方程式を立式し、問題文の形と比較することで $a, b, c$ を決定する。

次に、ある $x$ を固定したときの $y$ の最大値を求めるため、$y$ を $t$ の関数とみなし、微分法を用いて増減を調べる。計算を容易にするため、$y^2$ を微分するとよい。最大値を与える $t$ の条件から $d, e$ を定め、最後に $t$ を消去して境界線の式を導き $f$ を求める。

解法1

第1象限において、$\text{P}(t, 0)$ （$0 < t < 1$）とする。 $\text{PQ} = 1$ であり、$\text{Q}$ は $y$ 軸上の点であるから、$\text{Q}(0, \sqrt{1-t^2})$ と表せる。

直線 $\text{PQ}$ の方程式は、$x$ 切片が $t$、$y$ 切片が $\sqrt{1-t^2}$ であるから、

$$\frac{x}{t} + \frac{y}{\sqrt{1-t^2}} = 1$$

となる。これを問題文の式 $\frac{x}{t} + \frac{y}{\sqrt{a+bt^c}} = 1$ と比較すると、

$$a = 1, \quad b = -1, \quad c = 2$$

である。

次に、ある固定された $x$ （$0 < x < 1$）に対して、点 $(x, y)$ が線分 $\text{PQ}$ 上にあるための条件を考える。このとき、$t$ は $x \leqq t \leqq 1$ の範囲を動く。直線 $\text{PQ}$ の方程式を変形して $y$ について解くと、

$$y = \left( 1 - \frac{x}{t} \right) \sqrt{1-t^2}$$

となる。$y \geqq 0$ であるから、$y$ が最大となるとき $y^2$ も最大となる。関数 $g(t)$ を以下のように定める。

$$g(t) = y^2 = \left( 1 - \frac{x}{t} \right)^2 (1-t^2)$$

$g(t)$ を $t$ で微分すると、

$$\begin{aligned} g'(t) &= 2 \left( 1 - \frac{x}{t} \right) \left( \frac{x}{t^2} \right) (1-t^2) + \left( 1 - \frac{x}{t} \right)^2 (-2t) \\ &= 2 \left( 1 - \frac{x}{t} \right) \left\{ \frac{x}{t^2} (1-t^2) - t \left( 1 - \frac{x}{t} \right) \right\} \\ &= 2 \left( 1 - \frac{x}{t} \right) \left( \frac{x - xt^2 - t^3 + xt^2}{t^2} \right) \\ &= 2 \left( 1 - \frac{x}{t} \right) \frac{x - t^3}{t^2} \end{aligned}$$

$x < t < 1$ において、$g'(t) = 0$ となるのは $x - t^3 = 0$、すなわち $x = t^3$ のときである。 $t$ がこの値の前後で変化するとき、$g'(t)$ は正から負へと符号を変えるため、ここで $g(t)$ および $y$ は極大かつ最大となる。

したがって、$y$ が最大となるのは $x = 1 \cdot t^3$ のときであり、問題文の $x = dt^e$ と比較して、

$$d = 1, \quad e = 3$$

である。

このとき、$y$ の最大値は、$x = t^3$ を $y$ の式に代入して、

$$y = \left( 1 - \frac{t^3}{t} \right) \sqrt{1-t^2} = (1-t^2) \sqrt{1-t^2} = (1-t^2)^{\frac{3}{2}}$$

となる。線分 $\text{PQ}$ の通過領域の境界線は、媒介変数 $t$ を用いて

$$\begin{cases} x = t^3 \\ y = (1-t^2)^{\frac{3}{2}} \end{cases}$$

と表される。ここから $t$ を消去するため、各式の両辺を $\frac{2}{3}$ 乗すると、

$$x^{\frac{2}{3}} = t^2, \quad y^{\frac{2}{3}} = 1-t^2$$

辺々を足し合わせると、

$$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1$$

を得る。線分 $\text{PQ}$ の動く範囲は、各 $x$ に対する $y$ の値が $0 \leqq y \leqq (1 - x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}$ を満たす領域であるから、不等式 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} \leqq 1$ で表される。これを $x^f + y^f \leqq 1$ と比較して、

$$f = \frac{2}{3}$$

である。

解説

一定の長さを持った線分が両軸に端点を置いて動くときに形成される領域（包絡線）を求める典型問題である。得られる境界線 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1$ は「アステロイド（星芒形）」と呼ばれる有名な曲線である。

一般的には $\text{P}(\cos\theta, 0), \text{Q}(0, \sin\theta)$ のように三角関数を用いて媒介変数表示し、$\theta$ について微分する解法が主流であるが、本問では問題文の誘導に従い $x$ を固定して考える。根号を含む関数の最大値を求める際、$y$ のまま微分すると計算が煩雑になるため、$y^2$ に置き換えて微分するのが計算ミスを防ぐ有効な手段である。