数学3 最大最小・解の個数問題 3 解説

方針・初手

三角関数の種類と角を統一することが第一歩となる。与式には角が $4\theta$ と $\theta$ のものが混在しているため、倍角の公式と半角の公式を用いて角を $2\theta$ に統一し、$\cos 2\theta$ の2次関数として表す。

解法1

$f(\theta)$ の式を変形する。倍角の公式 $\cos 4\theta = 2\cos^2 2\theta - 1$ と、半角の公式 $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ を用いる。

$$\begin{aligned} f(\theta) &= \cos 4\theta - 4\sin^2\theta \\ &= (2\cos^2 2\theta - 1) - 4 \cdot \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \\ &= 2\cos^2 2\theta - 1 - 2(1 - \cos 2\theta) \\ &= 2\cos^2 2\theta + 2\cos 2\theta - 3 \end{aligned}$$

ここで、$t = \cos 2\theta$ とおく。

与えられた $\theta$ の変域は $0 \leqq \theta \leqq \frac{3\pi}{4}$ であるから、各辺を2倍して $2\theta$ の変域を求めると、

$$0 \leqq 2\theta \leqq \frac{3\pi}{2}$$

となる。この範囲において、$\cos 2\theta$ のとりうる値の範囲は、

$$-1 \leqq \cos 2\theta \leqq 1$$

である。よって、$t$ の変域は

$$-1 \leqq t \leqq 1$$

となる。

$f(\theta)$ を $t$ の関数とみなし、これを $g(t)$ とおくと、

$$g(t) = 2t^2 + 2t - 3$$

となる。平方完成をして頂点を求める。

$$\begin{aligned} g(t) &= 2\left(t^2 + t\right) - 3 \\ &= 2\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 3 \\ &= 2\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 3 \\ &= 2\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{2} \end{aligned}$$

これより、$y = g(t)$ のグラフは、軸が直線 $t = -\frac{1}{2}$、頂点が点 $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{7}{2}\right)$ の下に凸の放物線となる。

定義域 $-1 \leqq t \leqq 1$ における $g(t)$ の値の変化を調べる。

軸 $t = -\frac{1}{2}$ は定義域内に含まれるため、$t = -\frac{1}{2}$ のとき $g(t)$ は最小となる。その最小値は $g\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{7}{2}$ である。

また、最大値は、軸からより遠い区間の端点においてとる。 $t = -1$ のときの軸からの距離は $\left|-1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right| = \frac{1}{2}$ $t = 1$ のときの軸からの距離は $\left|1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right| = \frac{3}{2}$ したがって、$t = 1$ のとき $g(t)$ は最大となる。その最大値は $g(1) = 2 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 3 = 1$ である。

それぞれの値をとる $\theta$ を求めておく。最小値をとるとき、$t = -\frac{1}{2}$ より $\cos 2\theta = -\frac{1}{2}$。 $0 \leqq 2\theta \leqq \frac{3\pi}{2}$ より、$2\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$。

最大値をとるとき、$t = 1$ より $\cos 2\theta = 1$。 $0 \leqq 2\theta \leqq \frac{3\pi}{2}$ より、$2\theta = 0$ であるから、$\theta = 0$。

解説

三角関数の最大・最小問題の基本的な解法パターンである「角を統一し、文字を置き換えて2次関数に帰着させる」問題である。今回は $\cos 4\theta$ と $\sin^2\theta$ から $\cos 2\theta$ を導き出すのが自然な発想となる。文字を置き換えた際には、必ずその文字のとりうる値の範囲（定義域）を確認することが最も重要であり、本問でも $t = \cos 2\theta$ の範囲を正しく求めることがポイントとなる。