数学3 最大最小・解の個数問題 4 解説

方針・初手

2点 $\text{P}, \text{Q}$ 間の距離の2乗を時刻 $t$ の関数として立式し、微分を用いて関数の増減を調べる。距離が正であることから、距離の2乗が最大のとき距離も最大となり、距離の2乗が最小のとき距離も最小となることを利用する。

解法1

時刻 $t$ における2点 $\text{P}, \text{Q}$ の距離の2乗を $f(t)$ とおく。2点間の距離の公式より、

$$f(t) = (\sin t - \sqrt{2}\cos t)^2 + (\sqrt{2} - \sin t)^2$$

これを展開して整理する。

$$\begin{aligned} f(t) &= (\sin^2 t - 2\sqrt{2}\sin t \cos t + 2\cos^2 t) + (2 - 2\sqrt{2}\sin t + \sin^2 t) \\ &= 2\sin^2 t + 2\cos^2 t - 2\sqrt{2}\sin t \cos t - 2\sqrt{2}\sin t + 2 \\ &= 2(\sin^2 t + \cos^2 t) + 2 - \sqrt{2}(2\sin t \cos t) - 2\sqrt{2}\sin t \end{aligned}$$

三角関数の相互関係 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ と、2倍角の公式 $\sin 2t = 2\sin t \cos t$ を用いると、

$$f(t) = 4 - \sqrt{2}\sin 2t - 2\sqrt{2}\sin t$$

となる。$t$ について微分すると、

$$\begin{aligned} f'(t) &= -2\sqrt{2}\cos 2t - 2\sqrt{2}\cos t \\ &= -2\sqrt{2}(\cos 2t + \cos t) \end{aligned}$$

さらに、2倍角の公式 $\cos 2t = 2\cos^2 t - 1$ を用いて変形する。

$$\begin{aligned} f'(t) &= -2\sqrt{2}(2\cos^2 t - 1 + \cos t) \\ &= -2\sqrt{2}(2\cos^2 t + \cos t - 1) \\ &= -2\sqrt{2}(2\cos t - 1)(\cos t + 1) \end{aligned}$$

$0 \leqq t \leqq 2\pi$ において $f'(t) = 0$ となる $t$ を求める。

$\cos t = \frac{1}{2}$ または $\cos t = -1$ より、

$$t = \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$$

$0 \leqq t \leqq 2\pi$ において常に $\cos t + 1 \geqq 0$ であるから、$f'(t)$ の符号変化は $-2\sqrt{2}(2\cos t - 1)$ の符号変化と一致する。したがって、$f(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{3}$	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$\frac{5\pi}{3}$	$\cdots$	$2\pi$
$f'(t)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(t)$	$4$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$4$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$4$

極値となるそれぞれの時刻における $f(t)$ の値を計算する。

$$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{3}\right) &= 4 - \sqrt{2}\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) - 2\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \\ &= 4 - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= 4 - \frac{\sqrt{6}}{2} - \sqrt{6} \\ &= 4 - \frac{3\sqrt{6}}{2} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} f\left(\frac{5\pi}{3}\right) &= 4 - \sqrt{2}\sin\left(\frac{10\pi}{3}\right) - 2\sqrt{2}\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) \\ &= 4 - \sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\ &= 4 + \frac{\sqrt{6}}{2} + \sqrt{6} \\ &= 4 + \frac{3\sqrt{6}}{2} \end{aligned}$$

増減表より、$f(t)$ は $t = \frac{5\pi}{3}$ のとき最大値 $4 + \frac{3\sqrt{6}}{2}$ をとり、$t = \frac{\pi}{3}$ のとき最小値 $4 - \frac{3\sqrt{6}}{2}$ をとる。

$\text{P}, \text{Q}$ の距離を $d$ とすると $d \geqq 0$ であり、$f(t) = d^2$ である。したがって、$f(t)$ が最大のとき $d$ も最大となり、$f(t)$ が最小のとき $d$ も最小となる。