数学3 接線・不等式 問題 1 解説

方針・初手

不等式 $a^x \geqq x$ において、両辺が正であることに着目し、両辺の自然対数をとることで定数 $a$ を分離する。これにより、調べるべき関数から未知の定数を消去し、1変数の関数の最大・最小問題に帰着させる。

解法1

条件より $x > 0$ であり、$a$ は正の定数であるから $a^x > 0$ である。 したがって、与えられた不等式 $a^x \geqq x$ の両辺の自然対数をとることができる。

$$\log a^x \geqq \log x$$

対数の性質を用いて変形すると、次のようになる。

$$x \log a \geqq \log x$$

$x > 0$ であるから、両辺を $x$ で割っても不等号の向きは変わらない。

$$\log a \geqq \frac{\log x}{x}$$

この不等式が任意の $x > 0$ で成り立つための条件は、定数 $\log a$ が関数 $f(x) = \frac{\log x}{x}$ の最大値以上になることである。 そこで、$f(x)$ の増減を調べる。

$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$$

$f'(x) = 0$ となるのは $1 - \log x = 0$、すなわち $x = e$ のときである。 $x > 0$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & (0) & \cdots & e & \cdots \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - \\ \hline f(x) & & \nearrow & \frac{1}{e} & \searrow \\ \hline \end{array}$$

増減表より、$f(x)$ は $x = e$ のとき最大値 $\frac{1}{e}$ をとる。 したがって、求める条件は次のようになる。

$$\log a \geqq \frac{1}{e}$$

底 $e$ は $1$ より大きいため、これを解いて次の範囲を得る。

$$a \geqq e^{\frac{1}{e}}$$

解法2

関数 $g(x) = a^x - x$ とおく。任意の $x > 0$ に対して $g(x) \geqq 0$ となる $a$ の条件を求める。 $a > 0$ より $g(x)$ を微分すると次のようになる。

$$g'(x) = a^x \log a - 1$$

(i) $0 < a \leqq 1$ のとき

$\log a \leqq 0$ であり、$x > 0$ において $a^x > 0$ であるから $a^x \log a \leqq 0$ となり、$g'(x) < 0$ である。 すなわち、$g(x)$ は単調減少関数である。 また、$\lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty$ となるため、任意の $x > 0$ に対して $g(x) \geqq 0$ とはならない。 よって不適である。

(ii) $a > 1$ のとき

$\log a > 0$ である。$g'(x) = 0$ とすると、次のように変形できる。

$$a^x \log a = 1$$

$$a^x = \frac{1}{\log a}$$

両辺の自然対数をとる。

$$x \log a = -\log(\log a)$$

$$x = -\frac{\log(\log a)}{\log a}$$

この値を $\alpha$ とおく。$a > 1$ のとき $a^x \log a$ は単調増加であるから、$g'(x)$ の符号は $x < \alpha$ で負、$x > \alpha$ で正に変わる。 したがって、$g(x)$ は $x = \alpha$ で最小となる。

(ア) $\alpha \leqq 0$ のとき

すなわち $-\frac{\log(\log a)}{\log a} \leqq 0$ のときである。 $\log a > 0$ より $\log(\log a) \geqq 0$ だから $\log a \geqq 1$ となり、$a \geqq e$ である。 このとき、$x > 0$ の範囲において $x > \alpha$ であるから、$g'(x) > 0$ となり $g(x)$ は単調増加である。 $x > 0$ において $g(x) > g(0) = 1 > 0$ となるため、任意の $x > 0$ に対して条件を満たす。

(イ) $\alpha > 0$ のとき

すなわち $1 < a < e$ のときである。 $g(x)$ は区間 $x > 0$ に含まれる $x = \alpha$ で最小値をとるため、条件は $g(\alpha) \geqq 0$ となる。

$$g(\alpha) = a^\alpha - \alpha = \frac{1}{\log a} - \left( -\frac{\log(\log a)}{\log a} \right) = \frac{1 + \log(\log a)}{\log a}$$

これが $0$ 以上となるから、次の不等式を得る。

$$\frac{1 + \log(\log a)}{\log a} \geqq 0$$

$\log a > 0$ であるため、分子について次が成り立つ。

$$1 + \log(\log a) \geqq 0$$

$$\log(\log a) \geqq -1$$

$$\log a \geqq e^{-1} = \frac{1}{e}$$

これを解いて $a \geqq e^{\frac{1}{e}}$ となる。$1 < a < e$ と合わせて、$e^{\frac{1}{e}} \leqq a < e$ である。

(ア) と (イ) を合わせると、求める範囲は $a \geqq e^{\frac{1}{e}}$ となる。

解説

不等式が「すべての変数に対して成り立つ」ための条件を求める問題である。そのまま微分して増減を調べることも可能だが（解法2）、定数 $a$ と変数 $x$ を分離して、「(定数) $\geqq$ (変数の関数)」の形に持ち込むのが定石であり、非常に有効である（解法1）。本問では両辺が正であることに着目して自然対数をとることで、定数分離の形に容易に帰着できる。これにより、調べるべき関数が $a$ を含まないシンプルなものになり、場合分けを回避できるため計算量が大幅に削減される。

答え

$a \geqq e^{\frac{1}{e}}$