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東京工業大学 1962年理系第6問解説

方針・初手

与えられた式を $x$ の関数 $g(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ とおき、その導関数 $g'(x)$ の符号を調べる。$g'(x) > 0$ を示すことが目標となる。$g'(x)$ を計算して分子を新たな関数としておき、その増減を調べるアプローチ（解法1）と、式の形から平均値の定理を用いて $g'(x)$ の符号を判定するアプローチ（解法2）が考えられる。

解法1

$a < x < b$ において、関数 $g(x)$ を次のように定める。

$$ g(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$

$g(x)$ を $x$ で微分すると、商の微分法より

$$ g'(x) = \frac{f'(x)(x - a) - \{f(x) - f(a)\} \cdot 1}{(x - a)^2} = \frac{f'(x)(x - a) - f(x) + f(a)}{(x - a)^2} $$

となる。$a < x < b$ において分母 $(x - a)^2 > 0$ であるから、$g'(x) > 0$ を示すためには、分子が正であることを示せばよい。そこで、分子を $h(x)$ とおく。

$$ h(x) = f'(x)(x - a) - f(x) + f(a) \quad (a \leqq x < b) $$

$h(x)$ を $x$ で微分すると

$$ h'(x) = f''(x)(x - a) + f'(x) \cdot 1 - f'(x) = (x - a)f''(x) $$

となる。条件より $a < x < b$ において $x - a > 0$ かつ $f''(x) > 0$ であるから、

$$ h'(x) > 0 $$

が成り立つ。よって、$h(x)$ は $a \leqq x < b$ において単調に増加する。したがって、$x > a$ において

$$ h(x) > h(a) = f'(a)(a - a) - f(a) + f(a) = 0 $$

となる。ゆえに、$a < x < b$ において $g'(x)$ の分子 $h(x)$ は正であるから、$g'(x) > 0$ が成り立つ。以上より、$\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ は $a < x < b$ で増加することが示された。

解法2

$a < x < b$ において、関数 $g(x)$ を次のように定める。

$$ g(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$

$g(x)$ の導関数は、次のように変形できる。

$$ g'(x) = \frac{f'(x)(x - a) - \{f(x) - f(a)\}}{(x - a)^2} = \frac{1}{x - a} \left\{ f'(x) - \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \right\} $$

ここで、区間 $[a, x]$ において関数 $f(t)$ に平均値の定理を適用すると、

$$ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(c) \quad (a < c < x) $$

を満たす実数 $c$ が存在する。これを $g'(x)$ の式に代入すると、

$$ g'(x) = \frac{1}{x - a} \{ f'(x) - f'(c) \} $$

となる。条件より $a \leqq x < b$ で $f''(x) > 0$ であるから、関数 $f'(x)$ はこの区間で単調に増加する。 $c < x$ であるから、

$$ f'(c) < f'(x) \iff f'(x) - f'(c) > 0 $$

が成り立つ。また、$a < x$ より $\frac{1}{x - a} > 0$ であるから、

$$ g'(x) > 0 $$

が成り立つ。以上より、$\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ は $a < x < b$ で増加することが示された。

解説

下に凸な関数の性質に関する有名な証明問題である。式 $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ は、グラフ上の定点 $(a, f(a))$ と動点 $(x, f(x))$ を結ぶ直線の傾きを表している。$f''(x) > 0$（下に凸）であるとき、この傾きが $x$ の増加に伴って大きくなることは図形的にも直感的に理解できる。証明の手法としては、対象の関数を微分し、その分子の符号を調べる「解法1」が基本である。このとき、分子を新たな関数とおいてもう一度微分する処理は、微分法における不等式の証明の典型的な手法である。また「解法2」のように、式の中に平均変化率 $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ の形が見えることから、平均値の定理を利用して $f'(c)$ に置き換えるアプローチも鮮やかであり、難関大でしばしば要求される高度な視点である。