数学3 接線・不等式 問題 2 解説

方針・初手

まずは点 $\text{P}$ における法線の方程式を立てる。曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の傾きは $f'(a)$ であり、これに直交する法線の傾きは $-\frac{1}{f'(a)}$ （ただし $f'(a) \neq 0$ のとき）である。これを利用して交点 $\text{Q}$ の座標を求め、2点間の距離の公式を用いる。後半は三角関数の不等式を解くことになるが、ひとつの三角関数に統一して解くのが定石である。

解法1

(1)

$y = \cos x$ を微分すると $y' = -\sin x$ となる。 $0 < x < \pi$ において、点 $\text{P}(a, \cos a)$ における接線の傾きは $-\sin a$ である。

$0 < a < \pi$ より $\sin a \neq 0$ であるから、法線の傾きは $\frac{1}{\sin a}$ となる。 したがって、点 $\text{P}$ における法線の方程式は

$$y - \cos a = \frac{1}{\sin a}(x - a)$$

となる。

点 $\text{Q}$ はこの法線と $x$ 軸の交点であるから、$y=0$ を代入して

$$-\cos a = \frac{1}{\sin a}(x - a)$$

$$x - a = -\sin a \cos a$$

$$x = a - \sin a \cos a$$

よって、点 $\text{Q}$ の座標は $(a - \sin a \cos a, 0)$ である。 2点 $\text{P}, \text{Q}$ 間の距離 $f(a)$ は

$$\begin{aligned} f(a) &= \sqrt{(a - (a - \sin a \cos a))^2 + (\cos a - 0)^2} \\ &= \sqrt{\sin^2 a \cos^2 a + \cos^2 a} \\ &= \sqrt{\cos^2 a (\sin^2 a + 1)} \\ &= |\cos a|\sqrt{\sin^2 a + 1} \end{aligned}$$

となる。

(2)

(1)で求めた $f(a)$ について、$f(a) \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $a$ の範囲を求める。

$$|\cos a|\sqrt{\sin^2 a + 1} \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

両辺ともに $0$ 以上であるから、両辺を2乗して

$$\cos^2 a (\sin^2 a + 1) \leqq \frac{3}{4}$$

ここで、$\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$ を代入すると

$$\cos^2 a \{(1 - \cos^2 a) + 1\} \leqq \frac{3}{4}$$

$$\cos^2 a (2 - \cos^2 a) \leqq \frac{3}{4}$$

となる。ここで $\cos^2 a = t$ とおくと、$0 < a < \pi$ より $-1 < \cos a < 1$ であるから、$0 \leqq t < 1$ である。不等式は

$$t(2 - t) \leqq \frac{3}{4}$$

$$2t - t^2 \leqq \frac{3}{4}$$

$$4t^2 - 8t + 3 \geqq 0$$

と変形できる。左辺を因数分解して

$$(2t - 1)(2t - 3) \geqq 0$$

これを解くと $t \leqq \frac{1}{2}$ または $t \geqq \frac{3}{2}$ となる。 $0 \leqq t < 1$ の範囲との共通部分をとると

$$0 \leqq t \leqq \frac{1}{2}$$

すなわち

$$0 \leqq \cos^2 a \leqq \frac{1}{2}$$

各辺の平方根をとると

$$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \cos a \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$0 < a < \pi$ の範囲でこの不等式を解くと、求める $a$ の値の範囲は

$$\frac{\pi}{4} \leqq a \leqq \frac{3}{4}\pi$$

となる。

解説

法線の方程式を立て、交点を求めて距離を計算するという微分と図形の基本的な問題である。(1)の最後で $\sqrt{\cos^2 a}$ を外す際に、単純に $\cos a$ としてしまうと、$a > \frac{\pi}{2}$ の範囲で $\cos a < 0$ となり、距離が負になるという誤りが生じる。$\sqrt{X^2} = |X|$ の性質に注意し、絶対値を付けることが重要である。

(2)の不等式を解く際は、絶対値を含んだ無理不等式となるため、両辺が非負であることを確認したうえで2乗して処理するのが簡明である。その後は、三角関数の種類（$\sin$ または $\cos$）を統一して2次不等式に帰着させる典型的な流れとなる。

答え

(1) $f(a) = |\cos a|\sqrt{\sin^2 a + 1}$

(2) $\frac{\pi}{4} \leqq a \leqq \frac{3}{4}\pi$