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名古屋大学 2023年理系第3問解説

方針・初手

本問は、微分を用いて関数の増減を調べ、グラフの共有点の個数や接する条件を考える問題である。 (1) は方程式を変形し、微分の符号を調べることで解の個数を求める。 (2) は差の関数 $h(x) = x(x^2-3) - e^x$ の極大値の符号を判定する。このとき、まともに計算することはできないため、(1) で調べた関数の性質と巧妙に結びつける必要がある。 (3) は共有点が1個である条件を「グラフが接する」ことと同値とみなし、立式する。ここでも (1) の方程式が再登場する美しい構造になっている。

解法1

(1)

$x<0$ より $x-1 \neq 0$ である。与えられた方程式の両辺に $x-1$ を掛け、移行すると次の方程式を得る。

$$ (x-1)e^x - 2x^3 = 0 $$

ここで、$g(x) = (x-1)e^x - 2x^3$ とおき、$x<0$ における $g(x)=0$ の実数解の個数を調べる。$g(x)$ を微分すると、

$$ g'(x) = e^x + (x-1)e^x - 6x^2 = xe^x - 6x^2 = x(e^x - 6x) $$

$x<0$ のとき、$-6x > 0$ かつ $e^x > 0$ より $e^x - 6x > 0$ である。これに $x < 0$ が掛かるため、$g'(x) < 0$ となる。したがって、$x<0$ において $g(x)$ は単調に減少する。また、極限と $x=0$ での値は以下のようになる。

$$ \lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} \left( \frac{x-1}{x} \cdot xe^x - 2x^3 \right) = \infty $$

$$ g(0) = -1 < 0 $$

単調減少な連続関数であり、符号が正から負へ変化するため、$x<0$ において $g(x) = 0$ を満たす実数 $x$ はただ1つ存在する。よって、負の実数解の個数は1個である。

(2)

求める共有点の個数は、関数 $h(x) = x(x^2-3) - e^x = x^3 - 3x - e^x$ とおいたとき、$x<0$ における方程式 $h(x) = 0$ の実数解の個数に等しい。 $h(x)$ を微分すると、

$$ h'(x) = 3x^2 - 3 - e^x $$

$$ h''(x) = 6x - e^x $$

$x<0$ において $6x < 0, -e^x < 0$ より $h''(x) < 0$ となり、$h'(x)$ は単調に減少する。ここで、$\lim_{x \to -\infty} h'(x) = \infty$ であり、$h'(0) = -4 < 0$ であるから、$h'(x) = 0$ を満たす負の実数 $\alpha$ がただ1つ存在する。 $h(x)$ の増減は、$x < \alpha$ で増加、$\alpha < x < 0$ で減少となるため、$h(x)$ は $x = \alpha$ で極大かつ最大となる。

極大値 $h(\alpha)$ の符号を調べる。 $h'(\alpha) = 3\alpha^2 - 3 - e^\alpha = 0$ より $e^\alpha = 3(\alpha^2 - 1)$ である。 $e^\alpha > 0$ より $\alpha^2 - 1 > 0$ となり、$\alpha < 0$ と合わせて $\alpha < -1$ であることがわかる。一方、(1) の関数 $g(x)$ について、

$$ g(-1) = -2e^{-1} + 2 = 2\left(1 - \frac{1}{e}\right) > 0 $$

であり、$g(0) = -1 < 0$ であったから、(1) の方程式の解を $\beta$ とすると $-1 < \beta < 0$ である。ゆえに $\alpha < \beta$ が成り立つ。 $g(x)$ は単調減少であるため、$g(\alpha) > g(\beta) = 0$ である。ここで $g(\alpha)$ の値を計算する。

$$ \begin{aligned} g(\alpha) &= (\alpha-1)e^\alpha - 2\alpha^3 \\ &= (\alpha-1)(3\alpha^2 - 3) - 2\alpha^3 \\ &= 3(\alpha-1)^2(\alpha+1) - 2\alpha^3 \\ &= 3(\alpha^3 - \alpha^2 - \alpha + 1) - 2\alpha^3 \\ &= \alpha^3 - 3\alpha^2 - 3\alpha + 3 \end{aligned} $$

また、極大値 $h(\alpha)$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} h(\alpha) &= \alpha^3 - 3\alpha - e^\alpha \\ &= \alpha^3 - 3\alpha - (3\alpha^2 - 3) \\ &= \alpha^3 - 3\alpha^2 - 3\alpha + 3 \end{aligned} $$

したがって、$h(\alpha) = g(\alpha)$ が成り立つ。先ほど示した $g(\alpha) > 0$ より、$h(\alpha) > 0$ である。 $\lim_{x \to -\infty} h(x) = -\infty$ であり、$h(0) = -1 < 0$ であることと合わせて、中間値の定理より $h(x) = 0$ は $x<\alpha$ で1つ、$\alpha < x < 0$ で1つの合計2つの解をもつ。よって、共有点の個数は 2個である。

(3)

$h_a(x) = x(x^2-a) - e^x = x^3 - ax - e^x$ とおく。 $x<0$ において $h_a(x) = 0$ がただ1つの実数解をもつ条件を考える。

$$ h_a'(x) = 3x^2 - a - e^x $$

$$ h_a''(x) = 6x - e^x $$

(2) と同様に、$x<0$ で $h_a''(x) < 0$ より $h_a'(x)$ は単調減少する。 $\lim_{x \to -\infty} h_a'(x) = \infty$ であり、$a>0$ より $h_a'(0) = -a - 1 < 0$ となる。よって $h_a'(x)=0$ となる負の実数がただ1つ存在し、これを $t$ とすると、$h_a(x)$ は $x=t$ で極大かつ最大となる。 $h_a(x)$ は $x \to -\infty$ で $-\infty$ に発散し、また $h_a(0) = -1 < 0$ であるため、$x<0$ で $h_a(x)=0$ がただ1つの解をもつための条件は、最大値が $0$ になること、すなわち $x=t$ で $x$ 軸に接することである。したがって、

$$ h_a(t) = t^3 - at - e^t = 0 $$

$$ h_a'(t) = 3t^2 - a - e^t = 0 $$

を満たす負の実数 $t$ と正の実数 $a$ の組がただ1つ存在することを示せばよい。下の式より $a = 3t^2 - e^t$ となり、これを上の式に代入する。

$$ t^3 - t(3t^2 - e^t) - e^t = 0 $$

$$ -2t^3 + (t-1)e^t = 0 $$

$$ (t-1)e^t - 2t^3 = 0 $$

この方程式は (1) で考えた方程式 $g(t) = 0$ と全く同じである。 (1) よりこれを満たす負の実数 $t$ はただ1つ存在し、これを $\beta$ とする。このとき、$a$ も $a = 3\beta^2 - e^\beta$ としてただ1つに定まる。最後に、この $a$ が正であることを確認する。 $\beta$ は $( \beta - 1 ) e^\beta - 2\beta^3 = 0$ を満たすので、$e^\beta = \frac{2\beta^3}{\beta-1}$ である。これを $a$ の式に代入すると、

$$ \begin{aligned} a &= 3\beta^2 - \frac{2\beta^3}{\beta-1} \\ &= \frac{3\beta^2(\beta-1) - 2\beta^3}{\beta-1} \\ &= \frac{\beta^3 - 3\beta^2}{\beta-1} \\ &= \frac{\beta^2(\beta-3)}{\beta-1} \end{aligned} $$

$\beta < 0$ より $\beta^2 > 0$、$\beta-3 < 0$、$\beta-1 < 0$ であるから、分子は負、分母も負となり $a > 0$ となる。以上より、条件を満たす正の実数 $a$ がただ1つ存在することが示された。

解説

複数の関数が絡み合うが、根本的には1つの方程式に帰着するという、非常に完成度の高い問題である。 (2) において、極大値を与える $\alpha$ が直接求まらないため符号判定に困るが、式変形を進めると (1) の関数 $g(x)$ を用いて $g(\alpha)$ と表せることに気付けるかが最大の山場である。 (3) は「交点が1つ」という図形的な条件を「グラフが接する」と翻訳し、重解条件を連立方程式として処理する定石通りに進めれば、自然に (1) の結果に合流する。京都大学や大阪大学などの難関大で好まれる、誘導の美しい良問である。