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東京大学 2021年理系第3問解説

方針・初手

（1）については、まず関数 $f(x)$ を微分して、点 $A(1, f(1))$ における接線 $l$ の方程式 $y = g(x)$ を求める。その後、$f(x) = g(x)$ という方程式を立てて解き、接点以外の共有点の $x$ 座標を求める。接点 $x=1$ では重解をもつ性質を利用して因数分解すると計算がスムーズである。

（2）については、被積分関数 $\{f(x) - g(x)\}^2$ をそのまま一つの分数にまとめてから2乗すると分子の次数が高くなり計算が困難になる。そこで、$f(x)$ と $g(x)$ の式のまま展開し、

$$ \{f(x) - g(x)\}^2 = \{f(x)\}^2 - 2f(x)g(x) + \{g(x)\}^2 $$

として、それぞれの項ごとに定積分を計算する方針をとる。分母に $x^2 + a^2$ を含む積分が現れるため、$x = \sqrt{a}\tan\theta$ の置換積分や部分積分を用いて処理する。

解法1

(1)

与えられた関数は

$$ f(x) = \frac{x}{x^2 + 3} $$

である。これを微分すると、商の微分公式より

$$ f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 3) - x \cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-x^2 + 3}{(x^2 + 3)^2} $$

となる。

点 $A$ の $x$ 座標は $1$ であるから、

$$ f(1) = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4} $$

$$ f'(1) = \frac{-1 + 3}{(1 + 3)^2} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} $$

よって、点 $A(1, \frac{1}{4})$ における接線 $l$ の方程式 $y = g(x)$ は

$$ y - \frac{1}{4} = \frac{1}{8}(x - 1) $$

$$ y = \frac{1}{8}x + \frac{1}{8} $$

すなわち

$$ g(x) = \frac{x + 1}{8} $$

である。

曲線 $C$ と接線 $l$ の共有点の $x$ 座標は、$f(x) = g(x)$ の実数解である。

$$ \frac{x}{x^2 + 3} = \frac{x + 1}{8} $$

両辺に $8(x^2 + 3)$ を掛けて分母を払うと

$$ 8x = (x + 1)(x^2 + 3) $$

$$ 8x = x^3 + x^2 + 3x + 3 $$

$$ x^3 + x^2 - 5x + 3 = 0 $$

この方程式は接点 $x = 1$ に由来する重解をもつため、左辺は $(x - 1)^2$ を因数にもつ。

$$ x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x - 1)^2 (x + 3) $$

よって

$$ (x - 1)^2 (x + 3) = 0 $$

これを解くと $x = 1, -3$ となる。点 $A$ と異なる共有点の $x$ 座標は $-3$ であり、これがただ1つ存在することが示された。

(2)

（1）の結果より、$\alpha = -3$ である。求める定積分を $I$ とおく。

$$ I = \int_{-3}^{1} \{ f(x) - g(x) \}^2 dx $$

被積分関数を展開すると

$$ \{ f(x) - g(x) \}^2 = \left( \frac{x}{x^2 + 3} - \frac{x + 1}{8} \right)^2 $$

$$ = \frac{x^2}{(x^2 + 3)^2} - \frac{x(x + 1)}{4(x^2 + 3)} + \frac{(x + 1)^2}{64} $$

となるので、3つの定積分に分けて計算する。

$$ I_1 = \int_{-3}^{1} \frac{x^2}{(x^2 + 3)^2} dx $$

$$ I_2 = \int_{-3}^{1} \frac{x(x + 1)}{x^2 + 3} dx $$

$$ I_3 = \int_{-3}^{1} \frac{(x + 1)^2}{64} dx $$

とすれば、$I = I_1 - \frac{1}{4}I_2 + I_3$ である。

まず、$I_3$ を計算する。

$$ I_3 = \frac{1}{64} \int_{-3}^{1} (x + 1)^2 dx = \frac{1}{64} \left[ \frac{(x + 1)^3}{3} \right]_{-3}^{1} $$

$$ = \frac{1}{64} \left( \frac{8}{3} - \frac{-8}{3} \right) = \frac{1}{64} \cdot \frac{16}{3} = \frac{1}{12} $$

次に、$I_2$ を計算する。被積分関数の分子の次数を下げると

$$ \frac{x^2 + x}{x^2 + 3} = \frac{(x^2 + 3) + x - 3}{x^2 + 3} = 1 + \frac{x}{x^2 + 3} - \frac{3}{x^2 + 3} $$

となるので、

$$ I_2 = \int_{-3}^{1} \left( 1 + \frac{x}{x^2 + 3} - \frac{3}{x^2 + 3} \right) dx $$

$$ = \int_{-3}^{1} 1 dx + \frac{1}{2}\int_{-3}^{1} \frac{(x^2 + 3)'}{x^2 + 3} dx - 3\int_{-3}^{1} \frac{1}{x^2 + 3} dx $$

$$ = \left[ x \right]_{-3}^{1} + \frac{1}{2}\left[ \log(x^2 + 3) \right]_{-3}^{1} - 3\int_{-3}^{1} \frac{1}{x^2 + 3} dx $$

ここで、$J = \int_{-3}^{1} \frac{1}{x^2 + 3} dx$ とおく。 $x = \sqrt{3}\tan\theta$ と置換すると、$dx = \frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta} d\theta$ であり、 $x = -3$ のとき $\theta = -\frac{\pi}{3}$、$x = 1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{6}$ となる。

$$ J = \int_{-\pi/3}^{\pi/6} \frac{1}{3(\tan^2\theta + 1)} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\cos^2\theta} d\theta $$

$$ = \int_{-\pi/3}^{\pi/6} \frac{\sqrt{3}}{3} d\theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \left[ \theta \right]_{-\pi/3}^{\pi/6} $$

$$ = \frac{\sqrt{3}}{3} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}\pi $$

これを用いて $I_2$ を計算すると

$$ I_2 = (1 - (-3)) + \frac{1}{2}(\log 4 - \log 12) - 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}\pi $$

$$ = 4 + \frac{1}{2}\log\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\pi = 4 - \frac{1}{2}\log 3 - \frac{\sqrt{3}}{2}\pi $$

となる。

最後に、$I_1$ を計算する。部分積分法を用いる。

$$ I_1 = \int_{-3}^{1} x \cdot \frac{x}{(x^2 + 3)^2} dx $$

$$ = \int_{-3}^{1} x \left\{ -\frac{1}{2(x^2 + 3)} \right\}' dx $$

$$ = \left[ -\frac{x}{2(x^2 + 3)} \right]_{-3}^{1} - \int_{-3}^{1} 1 \cdot \left\{ -\frac{1}{2(x^2 + 3)} \right\} dx $$

$$ = \left( -\frac{1}{8} - \frac{3}{24} \right) + \frac{1}{2}\int_{-3}^{1} \frac{1}{x^2 + 3} dx $$

$$ = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2}J $$

$$ = -\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{12}\pi $$

以上より、求める定積分 $I$ は

$$ I = \left( -\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{12}\pi \right) - \frac{1}{4} \left( 4 - \frac{1}{2}\log 3 - \frac{\sqrt{3}}{2}\pi \right) + \frac{1}{12} $$

$$ = -\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{12}\pi - 1 + \frac{1}{8}\log 3 + \frac{\sqrt{3}}{8}\pi + \frac{1}{12} $$

定数項と $\pi$ の項をそれぞれまとめると

$$ I = \left( -\frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{12} \right) + \frac{1}{8}\log 3 + \left( \frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{3\sqrt{3}}{24} \right)\pi $$

$$ = -\frac{7}{6} + \frac{1}{8}\log 3 + \frac{5\sqrt{3}}{24}\pi $$

となる。