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数学3 接線・不等式問題 64 解説

方針・初手

(1) 関数の大小関係を示す不等式証明である。差をとって新しい関数を定義し、導関数の符号と増減表（または単調性）を調べるという基本手順に従う。$f''(x) \geqq 0$ という条件から $f'(x)$ が単調増加であることを利用する。

(2) (1)で示した不等式において、$a$ と $b$ にそれぞれ $\frac{k}{n}$ と $\frac{k+1}{n}$ を代入し、区間 $\left[ \frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right]$ で定積分して辺々を足し合わせるという、区分求積法の原理に基づいた評価を行う。

(3) (2)で得られた不等式の中辺が $n \int_0^1 f(x) dx$ に近い形をしていることに着目する。不等式の各辺から $\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ を引くことで極限を求めたい式を作り出し、はさみうちの原理と区分求積法を用いて極限値を求める。

解法1

(1)

$0 \leqq a < b \leqq 1$ とする。関数 $F(x)$ を次のように定める。

$$F(x) = f(x) - \left\{ (x-a)f'(a) + f(a) \right\}$$

$x$ について微分すると、

$$F'(x) = f'(x) - f'(a)$$

問題の条件より、$0 \leqq x \leqq 1$ において $f''(x) \geqq 0$ であるため、$f'(x)$ はこの範囲で単調に増加する。したがって、$x \geqq a$ において $f'(x) \geqq f'(a)$、すなわち $F'(x) \geqq 0$ となる。よって、$F(x)$ は $a \leqq x \leqq b$ の範囲で単調に増加し、常に $F(x) \geqq F(a)$ が成り立つ。

$$F(a) = f(a) - f(a) = 0$$

であるから、$F(x) \geqq 0$ となり、以下の不等式を得る。

$$f(x) \geqq (x-a)f'(a) + f(a) \quad \cdots \text{①}$$

次に関数 $G(x)$ を次のように定める。

$$G(x) = \left\{ (x-a)f'(b) + f(a) \right\} - f(x)$$

$x$ について微分すると、

$$G'(x) = f'(b) - f'(x)$$

先ほどと同様に $f'(x)$ は単調増加であるから、$x \leqq b$ において $f'(x) \leqq f'(b)$、すなわち $G'(x) \geqq 0$ となる。したがって、$G(x)$ は $a \leqq x \leqq b$ の範囲で単調に増加し、常に $G(x) \geqq G(a)$ が成り立つ。

$$G(a) = f(a) - f(a) = 0$$

であるから、$G(x) \geqq 0$ となり、以下の不等式を得る。

$$f(x) \leqq (x-a)f'(b) + f(a) \quad \cdots \text{②}$$

①、②より、$a \leqq x \leqq b$ の範囲で

$$(x - a)f'(a) + f(a) \leqq f(x) \leqq (x - a)f'(b) + f(a)$$

が成り立つことが示された。

(2)

(1)で示された不等式は、$0 \leqq a < b \leqq 1$ を満たす任意の定数 $a, b$ について成り立つ。自然数 $n$ と、$0 \leqq k \leqq n-1$ を満たす整数 $k$ に対して、$a = \frac{k}{n}, b = \frac{k+1}{n}$ とおくと、$0 \leqq a < b \leqq 1$ を満たす。したがって、$\frac{k}{n} \leqq x \leqq \frac{k+1}{n}$ の範囲で以下の不等式が成り立つ。

$$\left(x - \frac{k}{n}\right)f'\left(\frac{k}{n}\right) + f\left(\frac{k}{n}\right) \leqq f(x) \leqq \left(x - \frac{k}{n}\right)f'\left(\frac{k+1}{n}\right) + f\left(\frac{k}{n}\right)$$

この不等式の各辺を $x$ について $\frac{k}{n}$ から $\frac{k+1}{n}$ まで定積分すると、

$$\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} \left\{ \left(x - \frac{k}{n}\right) f'\left(\frac{k}{n}\right) + f\left(\frac{k}{n}\right) \right\} dx \leqq \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(x) dx \leqq \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} \left\{ \left(x - \frac{k}{n}\right) f'\left(\frac{k+1}{n}\right) + f\left(\frac{k}{n}\right) \right\} dx$$

となる。さらに、この不等式において $k=0$ から $k=n-1$ まで辺々を加えると、

$$\sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} \left\{ \left(x - \frac{k}{n}\right) f'\left(\frac{k}{n}\right) + f\left(\frac{k}{n}\right) \right\} dx \leqq \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(x) dx \leqq \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} \left\{ \left(x - \frac{k}{n}\right) f'\left(\frac{k+1}{n}\right) + f\left(\frac{k}{n}\right) \right\} dx$$

ここで、問題文における $S_n$ および $T_n$ の定義式より、左辺は $S_n$、右辺は $T_n$ に等しい。また中辺は積分区間が連結されるため、以下のように変形できる。

$$\sum_{k=0}^{n-1} \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx$$

以上より、

$$S_n \leqq \int_0^1 f(x) dx \leqq T_n$$

が成り立つことが示された。

(3)

まず、$S_n$ と $T_n$ に含まれる定積分を具体的に計算する。

$$\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} \left(x - \frac{k}{n}\right) dx = \left[ \frac{1}{2} \left(x - \frac{k}{n}\right)^2 \right]_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} = \frac{1}{2n^2}$$

$$\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} f\left(\frac{k}{n}\right) dx = f\left(\frac{k}{n}\right) \left[ x \right]_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} = \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$$

これらを $S_n, T_n$ の式に代入すると、

$$S_n = \sum_{k=0}^{n-1} \left\{ \frac{1}{2n^2} f'\left(\frac{k}{n}\right) + \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \right\}$$

$$T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \left\{ \frac{1}{2n^2} f'\left(\frac{k+1}{n}\right) + \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \right\}$$

となる。次に、(2) で得られた不等式 $S_n \leqq \int_0^1 f(x) dx \leqq T_n$ の各辺を $n$ 倍する。

$$n S_n \leqq n \int_0^1 f(x) dx \leqq n T_n$$

この不等式の各辺から $\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)$ を引く。

$$n S_n - \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) \leqq n \int_0^1 f(x) dx - \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) \leqq n T_n - \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)$$

左辺と右辺の式を、先に求めた $S_n, T_n$ を用いて整理する。

$$n S_n - \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = n \sum_{k=0}^{n-1} \left\{ \frac{1}{2n^2} f'\left(\frac{k}{n}\right) + \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \right\} - \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{2n} \sum_{k=0}^{n-1} f'\left(\frac{k}{n}\right)$$

$$n T_n - \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = n \sum_{k=0}^{n-1} \left\{ \frac{1}{2n^2} f'\left(\frac{k+1}{n}\right) + \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \right\} - \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{2n} \sum_{k=0}^{n-1} f'\left(\frac{k+1}{n}\right)$$

ここで、$n \to \infty$ の極限を考えると、区分求積法により以下のようになる。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n} \sum_{k=0}^{n-1} f'\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{2} \int_0^1 f'(x) dx = \frac{1}{2} \left[ f(x) \right]_0^1 = \frac{1}{2} \{ f(1) - f(0) \} = \frac{q - p}{2}$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n} \sum_{k=0}^{n-1} f'\left(\frac{k+1}{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n} \sum_{k=1}^{n} f'\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{1}{2} \int_0^1 f'(x) dx = \frac{q - p}{2}$$

左辺と右辺が同じ極限値に収束するため、はさみうちの原理より、中辺の極限値も等しくなる。

$$\lim_{n \to \infty} \left\{ n \int_0^1 f(x) dx - \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) \right\} = \frac{q - p}{2}$$

解説

$f''(x) \geqq 0$ （下に凸な関数）であることを活かして接線や割線の方程式との上下関係を作り、それを積分することで「積分の近似計算の誤差」を評価する典型的な問題である。 (1)の不等式は、点 $(a, f(a))$ を通る傾き $f'(a)$ の直線（接線）が曲線の下側にあり、同じ点を通る傾き $f'(b)$ の直線が曲線上にあるという図形的な意味を持つ。 (3)は「長方形の面積の和（リーマン和）」と「実際の定積分」との差の極限を求める問題であり、区分求積法とはさみうちの原理を組み合わせる頻出手法のよい練習となる。