トップ› 基礎問題› 数学3› 微分法› 接線・不等式› 問題 63

数学3 接線・不等式問題 63 解説

方針・初手

各線分の長さを共通の文字 $\alpha, \beta$ を用いて表すことが第一歩となる。与えられた図形において、$\text{OA}$、$\text{OP}$、$\text{OQ}$ がいずれも辺 $\text{AB}$ 上の点と頂点 $\text{O}$ を結ぶ線分であることに着目し、それぞれの点を含む三角形（$\triangle\text{OAB}$、$\triangle\text{OBP}$、$\triangle\text{OBQ}$）に対して正弦定理を適用する。

長さを求めた後は、それらが $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ という共通の関数の値として表現できることを見抜く。問題文の誘導に従い、関数の凸性を利用して大小関係を評価する。その際、各角度が関数の定義域 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ に収まることを、問題の「角 $\text{A}$ が鈍角」という条件から忘れずに示す必要がある。

解法1

(1)

$\triangle\text{OAB}$ において、与えられた条件より $\angle\text{AOB} = \angle\text{AOP} + \angle\text{POQ} + \angle\text{QOB} = 3\beta$ である。

また、$\angle\text{OBA} = \angle\text{QBO} = \alpha$ である。

三角形の内角の和は $\pi$ であるから、

$$\angle\text{OAB} = \pi - (\angle\text{OBA} + \angle\text{AOB}) = \pi - (\alpha + 3\beta)$$

$\triangle\text{OAB}$ において正弦定理を用いると、

$$\frac{\text{OA}}{\sin \angle\text{OBA}} = \frac{\text{OB}}{\sin \angle\text{OAB}}$$

$$\frac{\text{OA}}{\sin \alpha} = \frac{1}{\sin(\pi - (\alpha + 3\beta))}$$

$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ であるから、$\sin(\pi - (\alpha + 3\beta)) = \sin(\alpha + 3\beta)$ となる。

したがって、

$$\text{OA} = \frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha + 3\beta)}$$

が成り立つ。

(2)

$f(x) = (\sin x)^{-1}$ について、導関数および第2次導関数を計算する。

$$f'(x) = -(\sin x)^{-2} \cdot \cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}$$

$$\begin{aligned} f''(x) &= -\frac{(-\sin x)\sin^2 x - \cos x \cdot 2\sin x \cos x}{(\sin^2 x)^2} \\ &= -\frac{-\sin^3 x - 2\sin x \cos^2 x}{\sin^4 x} \\ &= \frac{\sin^2 x + 2\cos^2 x}{\sin^3 x} \\ &= \frac{1 + \cos^2 x}{\sin^3 x} \end{aligned}$$

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$\sin x > 0$ であり、$1 + \cos^2 x > 0$ であるから、常に $f''(x) > 0$ となる。

第2次導関数が正であるため、$y = f(x)$ のグラフは区間 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ において下に凸である。

(3)

まず、$\text{OP}$ と $\text{OQ}$ を $\alpha$ と $\beta$ を用いて表す。

$\triangle\text{OBQ}$ において、$\angle\text{QOB} = \beta, \angle\text{OBQ} = \alpha$ より、$\angle\text{OQB} = \pi - (\alpha + \beta)$ である。正弦定理より、

$$\frac{\text{OQ}}{\sin \alpha} = \frac{\text{OB}}{\sin(\pi - (\alpha + \beta))} = \frac{1}{\sin(\alpha + \beta)}$$

よって、

$$\text{OQ} = \frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha + \beta)}$$

同様に $\triangle\text{OBP}$ において、$\angle\text{POB} = 2\beta, \angle\text{OBP} = \alpha$ より、$\angle\text{OPB} = \pi - (\alpha + 2\beta)$ である。正弦定理より、

$$\frac{\text{OP}}{\sin \alpha} = \frac{\text{OB}}{\sin(\pi - (\alpha + 2\beta))} = \frac{1}{\sin(\alpha + 2\beta)}$$

よって、

$$\text{OP} = \frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha + 2\beta)}$$

(1) の結果と $\text{OB} = 1$ を用いると、各辺の長さは $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ を用いて次のように表せる。

$$\text{OB} = \sin \alpha \cdot f(\alpha)$$

$$\text{OQ} = \sin \alpha \cdot f(\alpha + \beta)$$

$$\text{OP} = \sin \alpha \cdot f(\alpha + 2\beta)$$

$$\text{OA} = \sin \alpha \cdot f(\alpha + 3\beta)$$

ここで、角度の範囲を確認する。問題文より $\angle\text{A}$ は鈍角であるから、$\angle\text{OAB} = \pi - (\alpha + 3\beta) > \frac{\pi}{2}$ である。これより、$\alpha + 3\beta < \frac{\pi}{2}$ が成り立つ。

また、図形の内角であるから $\alpha > 0, \beta > 0$ である。したがって、$x_0 = \alpha, x_1 = \alpha + \beta, x_2 = \alpha + 2\beta, x_3 = \alpha + 3\beta$ とすると、これらはすべて区間 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ に含まれ、$x_0 < x_1 < x_2 < x_3$ を満たす。

(2) より、$y = f(x)$ は区間 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ で下に凸であり、$f''(x) > 0$ だから $f'(x)$ は単調に増加する。

区間 $[x_0, x_1]$ において平均値の定理を用いると、

$$\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = f'(c_1) \quad (x_0 < c_1 < x_1)$$

となる $c_1$ が存在する。$x_1 - x_0 = \beta$ より、

$$\frac{f(\alpha+\beta) - f(\alpha)}{\beta} = f'(c_1)$$

同様に、区間 $[x_2, x_3]$ において平均値の定理を用いると、

$$\frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2} = f'(c_2) \quad (x_2 < c_2 < x_3)$$

となる $c_2$ が存在する。$x_3 - x_2 = \beta$ より、

$$\frac{f(\alpha+3\beta) - f(\alpha+2\beta)}{\beta} = f'(c_2)$$

ここで、$c_1 < x_1 < x_2 < c_2$ より $c_1 < c_2$ であり、$f'(x)$ が単調増加であるから $f'(c_1) < f'(c_2)$ が成り立つ。したがって、

$$\frac{f(\alpha+\beta) - f(\alpha)}{\beta} < \frac{f(\alpha+3\beta) - f(\alpha+2\beta)}{\beta}$$

$\beta > 0$ であるから、両辺に $\beta$ を掛けて整理すると、

$$f(\alpha+\beta) - f(\alpha) < f(\alpha+3\beta) - f(\alpha+2\beta)$$

$$f(\alpha) + f(\alpha+3\beta) > f(\alpha+\beta) + f(\alpha+2\beta)$$

両辺に $\sin \alpha$（$\alpha > 0$ より $\sin \alpha > 0$）を掛けると、

$$\sin \alpha \cdot f(\alpha) + \sin \alpha \cdot f(\alpha+3\beta) > \sin \alpha \cdot f(\alpha+\beta) + \sin \alpha \cdot f(\alpha+2\beta)$$

すなわち、

$$\text{OB} + \text{OA} > \text{OQ} + \text{OP}$$

となる。

解説

図形量の大小比較を、関数の凸性の問題に帰着させるという良問である。複数の三角形に正弦定理を用いて辺の長さを求めた時点で、角度が等差数列をなしていること、そして前問で微分した関数と同じ形が現れることに気づけるかが鍵となる。

関数の凸性を用いて $f(a) + f(d) > f(b) + f(c)$ のような不等式を示す場合、傾きの単調増加性（導関数が単調増加であること）と平均値の定理を組み合わせる手法が最も確実で論理の飛躍がない。また、関数が下に凸である条件を活用するためには、代入する角度がすべて指定された定義域 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲に収まっていることを証明しなければならない。「角 $\text{A}$ が鈍角」という一見すると些細な条件が、この定義域の保証のために必須となる構造に注意したい。