数学3 合成関数 問題 1 解説

方針・初手

合成関数の定義式に従い、内側の関数の値域と外側の関数の定義域（場合分けの条件）を照らし合わせて式を構成する。 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ では、$f(x)$ の定義域で場合分けされているため、そのまま $g(x)$ の式に代入すればよい。 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ では、$f(x)$ の場合分けの条件式（$x < -1$、$-1 \leqq x < 1$、$1 \leqq x$）の $x$ に $g(x)$ を代入した不等式を解き、元の変数 $x$ の範囲を求める必要がある。

解法1

(1)

$f(x)$ の定義より、グラフは以下の3つの部分からなる。 $x < -1$ の範囲では、傾き $1$、切片 $1$ の半直線（点 $(-1, 0)$ は含まない）。 $-1 \leqq x < 1$ の範囲では、$x$ 軸上の線分（点 $(-1, 0)$ を含み、点 $(1, 0)$ は含まない）。 $1 \leqq x$ の範囲では、傾き $1$、切片 $-1$ の半直線（点 $(1, 0)$ を含む）。

これらをつなぎ合わせると、折れ線状のグラフとなる。 グラフは点 $(-1, 0)$ および 点 $(1, 0)$ で連続である。

(2)

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \{f(x)\}^2 - \frac{1}{2}$ である。 $f(x)$ の場合分けに従って計算する。

(i) $x < -1$ のとき

$f(x) = x+1$ であるから、

$$g(f(x)) = (x+1)^2 - \frac{1}{2}$$

(ii) $-1 \leqq x < 1$ のとき

$f(x) = 0$ であるから、

$$g(f(x)) = 0^2 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$$

(iii) $1 \leqq x$ のとき

$f(x) = x-1$ であるから、

$$g(f(x)) = (x-1)^2 - \frac{1}{2}$$

以上より、

$$(g \circ f)(x) = \begin{cases} (x+1)^2 - \frac{1}{2} & (x < -1) \\ -\frac{1}{2} & (-1 \leqq x < 1) \\ (x-1)^2 - \frac{1}{2} & (1 \leqq x) \end{cases}$$

$y = (g \circ f)(x)$ のグラフは、 $x < -1$ では頂点 $(-1, -\frac{1}{2})$ の放物線の一部、 $-1 \leqq x < 1$ では直線 $y = -\frac{1}{2}$ の線分、 $1 \leqq x$ では頂点 $(1, -\frac{1}{2})$ の放物線の一部である。 これらは $x = -1$ および $x = 1$ で連続につながる。

(3)

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ を求める。 $f(x)$ の定義より、$g(x)$ の値によって場合分けを行う。

$$f(g(x)) = \begin{cases} g(x) + 1 & (g(x) < -1) \\ 0 & (-1 \leqq g(x) < 1) \\ g(x) - 1 & (1 \leqq g(x)) \end{cases}$$

ここで、$g(x) = x^2 - \frac{1}{2}$ はすべての実数 $x$ に対して $g(x) \geqq -\frac{1}{2}$ を満たすため、$g(x) < -1$ となる $x$ は存在しない。

次に、$-1 \leqq g(x) < 1$ となる $x$ の範囲を求める。 $g(x) \geqq -\frac{1}{2}$ より $-1 \leqq g(x)$ は常に成り立つので、$g(x) < 1$ を解けばよい。

$$x^2 - \frac{1}{2} < 1$$

$$x^2 < \frac{3}{2}$$

$$-\frac{\sqrt{6}}{2} < x < \frac{\sqrt{6}}{2}$$

このとき、$f(g(x)) = 0$ である。

さらに、$1 \leqq g(x)$ となる $x$ の範囲を求める。

$$x^2 - \frac{1}{2} \geqq 1$$

$$x^2 \geqq \frac{3}{2}$$

$$x \leqq -\frac{\sqrt{6}}{2}, \quad \frac{\sqrt{6}}{2} \leqq x$$

このとき、

$$f(g(x)) = g(x) - 1 = \left( x^2 - \frac{1}{2} \right) - 1 = x^2 - \frac{3}{2}$$

したがって、求める合成関数は以下のようになる。

$$(f \circ g)(x) = \begin{cases} x^2 - \frac{3}{2} & \left( x \leqq -\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2} \leqq x \right) \\ 0 & \left( -\frac{\sqrt{6}}{2} < x < \frac{\sqrt{6}}{2} \right) \end{cases}$$

解説

合成関数の構成に関する基本問題である。 外側の関数と内側の関数のどちらが場合分けされているかによって、処理の手順が異なる。 $(g \circ f)(x)$ のように、内側の関数 $f(x)$ が場合分けされている場合は、その定義域のまま外側の関数に代入すればよい。 一方、$(f \circ g)(x)$ のように、外側の関数 $f(x)$ が場合分けされている場合は、内側の関数 $g(x)$ の値域を調べ、外側の関数のどの場合分けの条件を満たすかを元の変数 $x$ について解き直す必要がある。このとき、$g(x)$ の最小値などを考慮することで、空集合となる場合分けを素早く排除できる。

答え

(1)

$x < -1$ で半直線 $y = x+1$、$-1 \leqq x < 1$ で線分 $y = 0$、$1 \leqq x$ で半直線 $y = x-1$ をつなぎ合わせた折れ線のグラフ。

(2)

$$(g \circ f)(x) = \begin{cases} (x+1)^2 - \frac{1}{2} & (x < -1) \\ -\frac{1}{2} & (-1 \leqq x < 1) \\ (x-1)^2 - \frac{1}{2} & (1 \leqq x) \end{cases}$$

グラフは、$x < -1$ で放物線 $y = (x+1)^2 - \frac{1}{2}$ の一部、$-1 \leqq x < 1$ で線分 $y = -\frac{1}{2}$、$1 \leqq x$ で放物線 $y = (x-1)^2 - \frac{1}{2}$ の一部をつなぎ合わせた曲線である。

(3)

$$(f \circ g)(x) = \begin{cases} x^2 - \frac{3}{2} & \left( x \leqq -\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2} \leqq x \right) \\ 0 & \left( -\frac{\sqrt{6}}{2} < x < \frac{\sqrt{6}}{2} \right) \end{cases}$$