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東京大学 1961年文系第5問解説

方針・初手

問題の条件に従い、3点 $P, A, Q$ の座標を設定し、線分 $AB$ の長さ $l$ を $h$ を用いて表すことから始める。点 $P$ と点 $Q$ の $x$ 座標はそれぞれ $a-h$, $a+h$ であり、点 $B$ の $x$ 座標は $a$ である。これは点 $B$ が線分 $PQ$ の中点と同じ $x$ 座標を持つことを意味するため、線分 $PQ$ が直線であることから、点 $B$ の $y$ 座標も点 $P$ と点 $Q$ の $y$ 座標の中点となる。

長さ $l$ の式が求まった後、$\lim_{h \to 0} \frac{l}{h^2}$ の極限計算を行う。根号を含む式の極限となるため、適切に有理化を行うか、関数の導関数の定義に帰着させる工夫が必要となる。

解法1

関数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ とおく。

3点の座標はそれぞれ $P(a-h, f(a-h))$, $A(a, f(a))$, $Q(a+h, f(a+h))$ と表せる。点 $B$ は線分 $PQ$ 上にあり、その $x$ 座標は $a$ である。$a$ は $a-h$ と $a+h$ の中点であるから、点 $B$ の $y$ 座標 $y_B$ は点 $P$ と点 $Q$ の $y$ 座標の中点となる。

$$ y_B = \frac{f(a-h) + f(a+h)}{2} $$

ここで、$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ であり、さらに微分すると

$$ f''(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} > 0 $$

となるため、曲線 $y = f(x)$ は常に下に凸である。したがって、曲線上の2点 $P, Q$ を結ぶ線分は曲線のグラフより上側にある。よって $y_B > f(a)$ が成り立つので、線分 $AB$ の長さ $l$ は絶対値を外して次のように表せる。

$$ l = y_B - f(a) = \frac{\sqrt{1+(a-h)^2} + \sqrt{1+(a+h)^2} - 2\sqrt{1+a^2}}{2} $$

求める極限は $\lim_{h \to 0} \frac{l}{h^2}$ である。分子の極限計算を行うために、分子の根号部分を $N$ とおいて有理化を進める。

$$ N = \sqrt{1+(a-h)^2} + \sqrt{1+(a+h)^2} - 2\sqrt{1+a^2} $$

$$ N = \left( \sqrt{1+(a+h)^2} - \sqrt{1+a^2} \right) + \left( \sqrt{1+(a-h)^2} - \sqrt{1+a^2} \right) $$

それぞれの項を有利化する。

$$ N = \frac{1+(a+h)^2 - (1+a^2)}{\sqrt{1+(a+h)^2} + \sqrt{1+a^2}} + \frac{1+(a-h)^2 - (1+a^2)}{\sqrt{1+(a-h)^2} + \sqrt{1+a^2}} $$

$$ N = \frac{2ah+h^2}{\sqrt{1+(a+h)^2} + \sqrt{1+a^2}} + \frac{-2ah+h^2}{\sqrt{1+(a-h)^2} + \sqrt{1+a^2}} $$

分母を $(\sqrt{1+(a+h)^2} + \sqrt{1+a^2})(\sqrt{1+(a-h)^2} + \sqrt{1+a^2})$ として通分する。分子は次のように計算される。

$$ \begin{aligned} & (2ah+h^2)(\sqrt{1+(a-h)^2} + \sqrt{1+a^2}) + (-2ah+h^2)(\sqrt{1+(a+h)^2} + \sqrt{1+a^2}) \\ &= 2ah(\sqrt{1+(a-h)^2} - \sqrt{1+(a+h)^2}) + h^2(\sqrt{1+(a-h)^2} + \sqrt{1+(a+h)^2} + 2\sqrt{1+a^2}) \end{aligned} $$

第1項についてさらに有理化を行う。

$$ \begin{aligned} 2ah(\sqrt{1+(a-h)^2} - \sqrt{1+(a+h)^2}) &= 2ah \frac{1+(a-h)^2 - \{1+(a+h)^2\}}{\sqrt{1+(a-h)^2} + \sqrt{1+(a+h)^2}} \\ &= \frac{-8a^2 h^2}{\sqrt{1+(a-h)^2} + \sqrt{1+(a+h)^2}} \end{aligned} $$

これにより、分子全体は $h^2$ をくくり出すことができ、次のように整理できる。

$$ N = \frac{h^2 \left( \frac{-8a^2}{\sqrt{1+(a-h)^2} + \sqrt{1+(a+h)^2}} + \sqrt{1+(a-h)^2} + \sqrt{1+(a+h)^2} + 2\sqrt{1+a^2} \right)}{(\sqrt{1+(a+h)^2} + \sqrt{1+a^2})(\sqrt{1+(a-h)^2} + \sqrt{1+a^2})} $$

したがって、求める極限は次のように計算できる。

$$ \lim_{h \to 0} \frac{l}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{N}{2h^2} $$

$h \to 0$ のとき、各項の極限は次のようになる。

$$ \text{分母の極限} = (2\sqrt{1+a^2})(2\sqrt{1+a^2}) = 4(1+a^2) $$

$$ \begin{aligned} \text{カッコ内の極限} &= \frac{-8a^2}{2\sqrt{1+a^2}} + 2\sqrt{1+a^2} + 2\sqrt{1+a^2} \\ &= \frac{-4a^2}{\sqrt{1+a^2}} + 4\sqrt{1+a^2} \\ &= \frac{-4a^2 + 4(1+a^2)}{\sqrt{1+a^2}} \\ &= \frac{4}{\sqrt{1+a^2}} \end{aligned} $$

これらを代入して極限値を求める。

$$ \lim_{h \to 0} \frac{l}{h^2} = \frac{1}{2 \cdot 4(1+a^2)} \cdot \frac{4}{\sqrt{1+a^2}} = \frac{1}{2(1+a^2)^{\frac{3}{2}}} $$

解法2

関数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ とおく。解法1と同様にして $l = \frac{f(a+h) + f(a-h) - 2f(a)}{2}$ を得る。

極限 $\lim_{h \to 0} \frac{l}{h^2} = \frac{1}{2} \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) + f(a-h) - 2f(a)}{h^2}$ を考える。これは $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を用いて極限を計算する。

$$ \begin{aligned} \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) + f(a-h) - 2f(a)}{h^2} &= \lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h) - f'(a-h)}{2h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{2} \left( \frac{f'(a+h) - f'(a)}{h} + \frac{f'(a) - f'(a-h)}{h} \right) \end{aligned} $$

ここで、微分の定義より $\lim_{h \to 0} \frac{f'(a+h) - f'(a)}{h} = f''(a)$ であり、$\lim_{h \to 0} \frac{f'(a-h) - f'(a)}{-h} = f''(a)$ であるから、

$$ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) + f(a-h) - 2f(a)}{h^2} = \frac{1}{2} ( f''(a) + f''(a) ) = f''(a) $$

となる。したがって、求める極限は $\frac{1}{2} f''(a)$ に等しい。

$f'(x) = x(1+x^2)^{-\frac{1}{2}}$ より、$f''(x)$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} f''(x) &= 1 \cdot (1+x^2)^{-\frac{1}{2}} + x \left( -\frac{1}{2} \right) (1+x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x \\ &= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} \\ &= \frac{1+x^2 - x^2}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} \\ &= \frac{1}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}} \end{aligned} $$

これに $x = a$ を代入することで、求める極限を得る。

$$ \lim_{h \to 0} \frac{l}{h^2} = \frac{1}{2} f''(a) = \frac{1}{2(1+a^2)^{\frac{3}{2}}} $$

解説

極限 $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) + f(a-h) - 2f(a)}{h^2} = f''(a)$ は、関数の2次近似（テーラー展開）や2次導関数の定義として大学数学では非常によく知られた関係式である。本問はその事実を具体的な関数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ に適用する形となっている。

解法1では、この事実を知らなくても高校数学の範疇で厳密に極限を導出するための「丁寧な有理化」の手順を示している。根号が複数含まれる極限では、一度に処理しようとせず、定数項（本問では $f(a)$）を分割して組み合わせ、それぞれを有理化してから通分するという手法が非常に有効である。難関大の極限計算で頻出のテクニックなので身につけておくと良いでしょう。