京都大学 2007年 理系 第6問（乙） 解説

方針・初手

与えられた関数方程式から導関数 $f'(x)$ を求めます。微分の定義式 $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ に関数方程式を代入し、$f'(0)=1$ を利用して $f'(x)$ を $f(x)$ で表す関係式（微分方程式）を導くのが第一歩です。

(1) は導いた微分方程式を解いて $f(x)$ を具体的に求めるか、あるいは $1 \pm f(x)$ の導関数に注目して符号を判定します。

(2) は $f''(x)$ の符号を調べることで、グラフの凹凸を判定します。

解法1

(1)

$f(a+b) = \dfrac{f(a)+f(b)}{1+f(a)f(b)}$ において $a=x, b=h$ とおくと、

$$ f(x+h) - f(x) = \frac{f(h)(1 - \{f(x)\}^2)}{1+f(x)f(h)} $$

微分の定義より、

$$\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} \cdot \frac{1 - \{f(x)\}^2}{1+f(x)f(h)} \end{aligned}$$

$\lim_{h \to 0} f(h) = f(0) = 0$ かつ $f'(0) = 1$ であるから、

$$ f'(x) = 1 - \{f(x)\}^2 \quad \cdots (\ast) $$

ある実数 $a$ で $|f(a)| \geqq 1$ となると仮定する。$f(0)=0$ および連続性から中間値の定理より $|f(c)| = 1$ となる $c \neq 0$ が存在する。

原点に最も近いそのような $c$ をとり、開区間 $I$ を $0$ と $c$ の間とすると、$I$ では $-1 < f(x) < 1$ であるから $1-\{f(x)\}^2 > 0$。式 $(\ast)$ を整理すると、

$$ \frac{1}{2}\left(\frac{f'(x)}{1+f(x)} + \frac{f'(x)}{1-f(x)}\right) = 1 $$

両辺を積分して、$x=0$ で $f(0)=0$ より積分定数は $0$ となり、

$$ \frac{1+f(x)}{1-f(x)} = e^{2x} \implies f(x) = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} $$

しかしこの式は任意の実数 $c$ で $-1 < f(c) < 1$ を満たし、$|f(c)| = 1$ という仮定に矛盾する。

したがって、任意の実数 $a$ に対して

$$ -1 < f(a) < 1 $$

が成り立つ。（証明終）

(2)

(1)の結果から、すべての実数 $x$ で $-1 < f(x) < 1$ であるため、式 $(\ast)$ より $f'(x) = 1-\{f(x)\}^2 > 0$。

$f(x)$ は単調増加であり、$f(0)=0$ であるから $x > 0$ では $f(x) > 0$。

$f'(x)$ の両辺を微分すると、

$$ f''(x) = -2f(x)f'(x) $$

$x > 0$ においては $f(x) > 0$ かつ $f'(x) > 0$ であるから $f''(x) < 0$。

よって、$y=f(x)$ のグラフは $x > 0$ において上に凸である。（証明終）

解法2

(1)の別解：積分因子を用いた証明

$f'(x) = 1-\{f(x)\}^2$ までは解法1と同様。

関数 $g(x) = 1 - f(x)$ を考えると、

$$ g'(x) = -f'(x) = -(1-f(x))(1+f(x)) = -g(x)(1+f(x)) $$

両辺に積分因子 $e^{\int_0^x (1+f(t))dt}$ を掛けると、

$$ \left\{ g(x) e^{\int_0^x (1+f(t))dt} \right\}' = 0 $$

$g(0) = 1$ より

$$ g(x) = e^{-\int_0^x (1+f(t))dt} > 0 $$

すなわち $f(x) < 1$。

同様に $h(x) = 1 + f(x)$ を考えると $h'(x) = (1-f(x))h(x)$ より、積分因子を用いて

$$ h(x) = e^{\int_0^x (1-f(t))dt} > 0 $$

すなわち $f(x) > -1$。

以上より $-1 < f(x) < 1$。（証明終）

解説

加法定理のような関数方程式が与えられたとき、微分の定義式に従って極限を計算し、$f'(x)$ の関係式（微分方程式）を導くのが定石中の定石です。本問の背景にある関数は双曲線正接関数 $f(x) = \tanh x$ であり、与えられた関数方程式は $\tanh$ の加法定理そのものです。

(1)では、微分方程式 $f'(x) = 1-f(x)^2$ を解いて直接関数を求めてしまう方針（解法1）が素直ですが、「$1-f(x)^2$ で割る」際に分母が $0$ にならないことの保証が厳密には必要になります。解法2の積分因子を用いた証明は、分母が $0$ になるかどうかの議論を完全に回避できる非常に厳密な方法です。

(2) は「上に凸であること」を示すために $f''(x) < 0$ を示します。(1)の結果を使えば、直接 $f(x)$ を求めていなくても符号判定だけで完答できます。

答え

略（解法1の証明を参照）