トップ› 東京大学› 1964年› 理系第5問

東京大学 1964年理系第5問解説

方針・初手

点 $P$ は曲線 $xy=1$ の第1象限の点より $P\left(a, \frac{1}{a}\right)$ ($a>0$) とおける。点 $Q$ は第3象限の点より $Q\left(s, \frac{1}{s}\right)$ ($s<0$) とおける。（1）は線分 $QP$ の長さの2乗を $s$ の関数として立式し、微分を用いて最小値を求めるのが標準的である。また、最短距離となる点が満たす幾何学的条件（直線 $PQ$ が曲線と点 $Q$ で直交する）を利用すると計算量を減らすことができる。（2）は（1）で求めた最小値をとるときの $Q$ の座標から、直線 $QP$ の傾きを求め、それが $\tan 30^\circ$ に等しいという方程式を立てる。

解法1

点 $P$ は曲線 $xy=1$ の第1象限の点なので、$a>0$ であり、$P\left(a, \frac{1}{a}\right)$ と表せる。また、点 $Q$ は同じ曲線の第3象限の点なので、$s<0$ として、$Q\left(s, \frac{1}{s}\right)$ と表せる。

(1) 線分 $QP$ の長さの2乗を $f(s)$ とおく。

$$ f(s) = (s - a)^2 + \left( \frac{1}{s} - \frac{1}{a} \right)^2 $$

これを $s$ について微分する。

$$ \begin{aligned} f'(s) &= 2(s - a) + 2\left( \frac{1}{s} - \frac{1}{a} \right) \cdot \left( -\frac{1}{s^2} \right) \\ &= 2(s - a) - \frac{2}{s^2} \cdot \frac{a - s}{as} \\ &= 2(s - a) + \frac{2(s - a)}{as^3} \\ &= 2(s - a) \left( 1 + \frac{1}{as^3} \right) \\ &= 2(s - a) \cdot \frac{as^3 + 1}{as^3} \end{aligned} $$

ここで、$a>0$ かつ $s<0$ であるから、$s - a < 0$、$as^3 < 0$ である。したがって、$f'(s) = 0$ となるのは $as^3 + 1 = 0$、すなわち $s^3 = -\frac{1}{a}$ のときである。これを満たす実数 $s$ は $s = -a^{-\frac{1}{3}}$ のみである。

$s$ の増減を考えると、 $s < -a^{-\frac{1}{3}}$ のとき、$s^3 < -\frac{1}{a}$ より $as^3 + 1 < 0$ となるので、$f'(s) < 0$ である。 $-a^{-\frac{1}{3}} < s < 0$ のとき、$s^3 > -\frac{1}{a}$ より $as^3 + 1 > 0$ となるので、$f'(s) > 0$ である。よって、$f(s)$ は $s = -a^{-\frac{1}{3}}$ において最小値をとる。

このとき、$Q$ の座標は $\left(-a^{-\frac{1}{3}}, -a^{\frac{1}{3}}\right)$ となる。最小値 $f(-a^{-\frac{1}{3}})$ を計算する。

$$ \begin{aligned} f(-a^{-\frac{1}{3}}) &= \left( -a^{-\frac{1}{3}} - a \right)^2 + \left( -a^{\frac{1}{3}} - a^{-1} \right)^2 \\ &= \left( a + a^{-\frac{1}{3}} \right)^2 + \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{-1} \right)^2 \\ &= \left( a^2 + 2a^{\frac{2}{3}} + a^{-\frac{2}{3}} \right) + \left( a^{\frac{2}{3}} + 2a^{-\frac{2}{3}} + a^{-2} \right) \\ &= a^2 + 3a^{\frac{2}{3}} + 3a^{-\frac{2}{3}} + a^{-2} \\ &= \left( a^{\frac{2}{3}} + a^{-\frac{2}{3}} \right)^3 \end{aligned} $$

$QP > 0$ より、$QP$ の最小値は $\sqrt{f(-a^{-\frac{1}{3}})}$ である。

$$ QP = \sqrt{\left( a^{\frac{2}{3}} + a^{-\frac{2}{3}} \right)^3} = \left( a^{\frac{2}{3}} + a^{-\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}} $$

(2) 線分 $QP$ の長さが最小になるとき、$P\left(a, a^{-1}\right)$、$Q\left(-a^{-\frac{1}{3}}, -a^{\frac{1}{3}}\right)$ である。直線 $QP$ の傾き $m$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} m &= \frac{a^{-1} - \left(-a^{\frac{1}{3}}\right)}{a - \left(-a^{-\frac{1}{3}}\right)} \\ &= \frac{a^{-1} + a^{\frac{1}{3}}}{a + a^{-\frac{1}{3}}} \\ &= \frac{a^{-\frac{1}{3}} \left( a^{-\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}} \right)}{a^{\frac{1}{3}} \left( a^{\frac{2}{3}} + a^{-\frac{2}{3}} \right)} \\ &= \frac{a^{-\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}} \\ &= a^{-\frac{2}{3}} \end{aligned} $$

線分 $QP$ が $x$ 軸の正の方向と $30^\circ$ の角をなすとき、その傾きは $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。したがって、次の方程式が成り立つ。

$$ a^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-\frac{1}{2}} $$

両辺は正であるから、両辺を $-\frac{3}{2}$ 乗して $a$ を求める。

$$ \begin{aligned} a &= \left( 3^{-\frac{1}{2}} \right)^{-\frac{3}{2}} \\ &= 3^{\frac{3}{4}} \end{aligned} $$

解法2

(1) 定点 $P\left(a, \frac{1}{a}\right)$ と、曲線 $y = \frac{1}{x}$ 上の動点 $Q\left(s, \frac{1}{s}\right)$ について、距離 $QP$ が最小となるのは、点 $Q$ における曲線の法線が点 $P$ を通るときである。

$y = \frac{1}{x}$ を微分すると $y' = -\frac{1}{x^2}$ である。点 $Q$ における接線の傾きは $-\frac{1}{s^2}$ であるから、法線の傾きは $s^2$ となる。よって、点 $Q$ における法線の方程式は次のように表される。

$$ y - \frac{1}{s} = s^2 (x - s) $$

この法線が点 $P\left(a, \frac{1}{a}\right)$ を通るため、次の等式が成り立つ。

$$ \frac{1}{a} - \frac{1}{s} = s^2 (a - s) $$

左辺を通分すると、

$$ \frac{s - a}{as} = s^2 (a - s) $$

$a>0$ かつ $s<0$ より $a - s \neq 0$ であるから、両辺を $-(a - s)$ で割ることができる。

$$ \begin{aligned} -\frac{1}{as} &= s^2 \\ s^3 &= -\frac{1}{a} \\ s &= -a^{-\frac{1}{3}} \end{aligned} $$

このとき、$Q$ の座標は $\left(-a^{-\frac{1}{3}}, -a^{\frac{1}{3}}\right)$ となる。以後の最小値の計算は解法1と同様であり、結果は以下のようになる。

$$ \left( a^{\frac{2}{3}} + a^{-\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}} $$

(2) 線分 $QP$ の長さが最小となるとき、直線 $QP$ は点 $Q$ における法線に一致する。したがって、直線 $QP$ の傾きは法線の傾き $s^2$ に等しい。（1）より $s = -a^{-\frac{1}{3}}$ であるから、傾きは

$$ \left( -a^{-\frac{1}{3}} \right)^2 = a^{-\frac{2}{3}} $$

となる。線分 $QP$ が $x$ 軸の正の方向と $30^\circ$ の角をなす条件から、

$$ a^{-\frac{2}{3}} = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = 3^{-\frac{1}{2}} $$

これを解いて、

$$ \begin{aligned} a &= \left( 3^{-\frac{1}{2}} \right)^{-\frac{3}{2}} \\ &= 3^{\frac{3}{4}} \end{aligned} $$

解説

本問は、定点と曲線上の動点の距離の最小値に関する典型的な問題である。関数として距離の2乗を微分する素直な解法（解法1）でも無理なく解き切れるが、展開後の式変形において $\left(a^{\frac{2}{3}} + a^{-\frac{2}{3}}\right)^3$ の形を見抜く部分で計算力が問われる。一方、図形的な性質「最短距離となる点は、法線が定点を通る点である」を利用する解法（解法2）は、計算量を大幅に減らすことができる強力な手法である。（2）の傾きの計算も法線の傾きを用いることで瞬時に終わるため、実戦的には解法2のアプローチを選択できると有利である。