数学3 合成関数 問題 2 解説

方針・初手

合成関数の定義に従って、関数に別の関数を代入して計算する。$g(f(x))$ は $g(x)$ の式における $x$ を $f(x)$ に置き換えたものであり、$f(g(x))$ は $f(x)$ の式における $x$ を $g(x)$ に置き換えたものである。分数の足し算や展開を丁寧に行い、式を整理する。

解法1

まず、$g(f(x))$ を求める。

$g(x) = x+2$ の $x$ に $f(x)$ を代入すると、

$$\begin{aligned} g(f(x)) &= f(x) + 2 \\ &= \frac{2x+3}{x+1} + 2 \\ &= \frac{2x+3 + 2(x+1)}{x+1} \\ &= \frac{2x+3 + 2x+2}{x+1} \\ &= \frac{4x+5}{x+1} \end{aligned}$$

となる。

次に、$f(g(x))$ を求める。

$f(x) = \frac{2x+3}{x+1}$ の $x$ に $g(x)$ を代入すると、

$$\begin{aligned} f(g(x)) &= \frac{2g(x)+3}{g(x)+1} \\ &= \frac{2(x+2)+3}{(x+2)+1} \\ &= \frac{2x+4+3}{x+3} \\ &= \frac{2x+7}{x+3} \end{aligned}$$

となる。

解説

合成関数の基本的な計算問題である。代入する関数の順序を間違えないことと、分数式の通分や整理での計算ミスに注意すれば、確実に得点できる。一般に $g(f(x))$ と $f(g(x))$ は一致しないことがこの計算結果からも分かる。

答え

$g(f(x)) = \frac{4x+5}{x+1}$

$f(g(x)) = \frac{2x+7}{x+3}$