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東京大学 1972年理系第4問解説

方針・初手

方程式 $f(x) - kg(x) = 0$ を変形して定数 $k$ を分離する方針をとる。
$g(x) = 0$ となる $x$ が方程式の解にならないことを確認したうえで、両辺を $g(x)$ で割り、$k = \frac{f(x)}{g(x)}$ の形にする。
関数 $y = \frac{f(x)}{g(x)}$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の個数を調べる帰着とする。

解法1

与えられた方程式は以下の通りである。

$$ x^2(x+8) - k(x^2-1)(x+4) = 0 $$

ここで、$g(x) = (x^2-1)(x+4) = 0$ となる $x = \pm 1, -4$ について調べる。 $x = 1$ のとき、左辺は $1^2 \cdot 9 - 0 = 9 \neq 0$ $x = -1$ のとき、左辺は $(-1)^2 \cdot 7 - 0 = 7 \neq 0$ $x = -4$ のとき、左辺は $(-4)^2 \cdot 4 - 0 = 64 \neq 0$

したがって、$x = \pm 1, -4$ は方程式の実数解ではない。よって、$x \neq \pm 1, -4$ すなわち $g(x) \neq 0$ として両辺を $g(x)$ で割っても実数解の個数は変わらない。

$$ k = \frac{x^2(x+8)}{(x^2-1)(x+4)} $$

$h(x) = \frac{x^3+8x^2}{x^3+4x^2-x-4}$ とおき、関数 $y = h(x)$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の個数を調べる。 $h(x)$ を微分するために商の微分法を用いる。

$$ h'(x) = \frac{(3x^2+16x)(x^3+4x^2-x-4) - (x^3+8x^2)(3x^2+8x-1)}{(x^3+4x^2-x-4)^2} $$

分子を展開して整理する。

$$ \begin{aligned} & x \{ (3x+16)(x^3+4x^2-x-4) - (x^2+8x)(3x^2+8x-1) \} \\ &= x \{ (3x^4+12x^3-3x^2-12x+16x^3+64x^2-16x-64) - (3x^4+8x^3-x^2+24x^3+64x^2-8x) \} \\ &= x \{ (3x^4+28x^3+61x^2-28x-64) - (3x^4+32x^3+63x^2-8x) \} \\ &= x ( -4x^3 - 2x^2 - 20x - 64 ) \\ &= -2x ( 2x^3 + x^2 + 10x + 32 ) \end{aligned} $$

ここで $P(x) = 2x^3 + x^2 + 10x + 32$ とおくと、$P(-2) = -16 + 4 - 20 + 32 = 0$ となるため、$P(x)$ は $x+2$ を因数にもつ。

$$ 2x^3 + x^2 + 10x + 32 = (x+2)(2x^2-3x+16) $$

$2x^2-3x+16 = 2 \left( x - \frac{3}{4} \right)^2 + \frac{119}{8} > 0$ であるから、すべての実数 $x$ において $2x^2-3x+16 > 0$ である。したがって、$h'(x) = 0$ となるのは $x = 0, -2$ のみであり、$h'(x)$ の符号は $-2x(x+2)$ の符号と一致する。

極値を計算する。

$$ \begin{aligned} h(0) &= 0 \\ h(-2) &= \frac{(-2)^3 + 8(-2)^2}{((-2)^2-1)(-2+4)} = \frac{-8 + 32}{3 \cdot 2} = 4 \end{aligned} $$

漸近線を調べるために極限を計算する。

$$ \lim_{x \to \pm \infty} h(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{8}{x}}{1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2} - \frac{4}{x^3}} = 1 $$

また、分母が $0$ となる $x = \pm 1, -4$ の前後での極限は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to -4-0} h(x) &= -\infty, \quad \lim_{x \to -4+0} h(x) = \infty \\ \lim_{x \to -1-0} h(x) &= \infty, \quad \lim_{x \to -1+0} h(x) = -\infty \\ \lim_{x \to 1-0} h(x) &= -\infty, \quad \lim_{x \to 1+0} h(x) = \infty \end{aligned} $$

これらを踏まえ、$x \neq \pm 1, -4$ における $h(x)$ の増減表は次のようになる。（斜線部分は定義域外）

$x$	$\cdots$	$-4$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$h'(x)$	$-$	$/$	$-$	$0$	$+$	$/$	$+$	$0$	$-$	$/$	$-$
$h(x)$	$\searrow$	$/$	$\searrow$	$4$	$\nearrow$	$/$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$/$	$\searrow$

この増減表より、$y = h(x)$ のグラフは以下の性質をもつ。

区間 $(-\infty, -4)$ では、単調に減少し、値域は $(-\infty, 1)$。
区間 $(-4, -1)$ では、$x = -2$ で極小値 $4$ をとり、値域は $[4, \infty)$。
区間 $(-1, 1)$ では、$x = 0$ で極大値 $0$ をとり、値域は $(-\infty, 0]$。
区間 $(1, \infty)$ では、単調に減少し、値域は $(1, \infty)$。

求める実根の個数は、$y = h(x)$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の個数に等しいので、グラフの概形から $y = k$ を上下に動かして共有点を数える。

$k < 0$ のとき：区間 $(-\infty, -4)$ と区間 $(-1, 1)$ で交わり、合計 $3$ 個。
$k = 0$ のとき：区間 $(-\infty, -4)$ と $x=0$ で交わり、合計 $2$ 個。
$0 < k < 1$ のとき：区間 $(-\infty, -4)$ のみで交わり、$1$ 個。
$k = 1$ のとき：いずれの区間でも交わらないため、$0$ 個。
$1 < k < 4$ のとき：区間 $(1, \infty)$ のみで交わり、$1$ 個。
$k = 4$ のとき：$x=-2$ と区間 $(1, \infty)$ で交わり、合計 $2$ 個。
$k > 4$ のとき：区間 $(-4, -1)$ と区間 $(1, \infty)$ で交わり、合計 $3$ 個。

解説

三次方程式の解の個数を問う問題であるが、式に文字定数 $k$ が含まれている。このように定数が1次式として含まれる場合は、定数分離を行うのが定石である。本問では $k$ を分離した後の関数が分数関数となるため、微分による増減や漸近線の調査がやや煩雑になる。商の微分法の計算を正確に行い、高次方程式の因数定理を用いて導関数の符号変化を特定する計算力が問われる。また、漸近線を調べる極限計算において、分母が $0$ に近づく際の符号に注意し、グラフの概形を正しく捉える必要がある。

答え

$$ \begin{cases} k < 0, \ 4 < k \text{ のとき } 3\text{個} \\ k = 0, \ 4 \text{ のとき } 2\text{個} \\ 0 < k < 1, \ 1 < k < 4 \text{ のとき } 1\text{個} \\ k = 1 \text{ のとき } 0\text{個} \end{cases} $$