数学3 逆関数 問題 1 解説

方針・初手

逆関数 $f^{-1}(x)$ の定積分を求める問題である。アプローチとして以下の2つが考えられる。

1. 実際に方程式 $y = f(x)$ を $x$ について解き、逆関数 $f^{-1}(x)$ の式を求めてから積分を計算する。
2. 逆関数の性質 $x = f(y)$ を利用し、積分変数を $x$ から $y$ に置換して部分積分を実行する。

本問の関数 $f(x)$ は $x$ について解くことができるため、どちらの方針でも容易に計算できる。

解法1

$y = f(x)$ とおき、逆関数を具体的に求める。

$$y = \frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x^2}}$$

両辺を2乗して整理する。

$$y^2 = \frac{2x^2}{1+x^2}$$

$$y^2(1+x^2) = 2x^2$$

$$x^2(2-y^2) = y^2$$

もとの式より $-\sqrt{2} < y < \sqrt{2}$ であり、$2-y^2 > 0$ であるから、

$$x^2 = \frac{y^2}{2-y^2}$$

ここで、$y$ と $x$ は同符号であるため、両辺の平方根をとると以下のようになる。

$$x = \frac{y}{\sqrt{2-y^2}}$$

したがって、逆関数は次のように求まる。

$$f^{-1}(x) = \frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$$

求める定積分は、この逆関数を $0$ から $1$ まで積分すればよい。

$$\int_0^1 f^{-1}(x) dx = \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2-x^2}} dx$$

被積分関数は合成関数の微分の形になっているため、直ちに積分できる。

$$\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2-x^2}} dx = \left[ -\sqrt{2-x^2} \right]_0^1$$

$$= -\sqrt{2-1^2} - \left( -\sqrt{2-0^2} \right)$$

$$= -1 + \sqrt{2}$$

解法2

$y = f^{-1}(x)$ とおくと、$x = f(y)$ である。 定積分 $\int_0^1 f^{-1}(x) dx$ において、$x = f(y)$ と置換積分を行う。

$$dx = f'(y) dy$$

$x$ と $y$ の対応は以下のようになる。 $x = 0$ のとき $f(y) = 0$ より $y = 0$ $x = 1$ のとき $\frac{\sqrt{2}y}{\sqrt{1+y^2}} = 1$ より $2y^2 = 1+y^2$、$y^2 = 1$。$y$ と $x$ は同符号であるから $y = 1$

したがって、積分区間は $x: 0 \to 1$ から $y: 0 \to 1$ へ変わる。部分積分法を用いて計算を進める。

$$\int_0^1 f^{-1}(x) dx = \int_0^1 y f'(y) dy$$

$$= \left[ y f(y) \right]_0^1 - \int_0^1 f(y) dy$$

ここで $f(1) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ であるから、

$$= 1 \cdot 1 - 0 - \int_0^1 \frac{\sqrt{2}y}{\sqrt{1+y^2}} dy$$

$$= 1 - \left[ \sqrt{2}\sqrt{1+y^2} \right]_0^1$$

$$= 1 - (\sqrt{2}\sqrt{2} - \sqrt{2}\sqrt{1})$$

$$= 1 - (2 - \sqrt{2})$$

$$= \sqrt{2} - 1$$

解説

逆関数の定積分 $\int_a^b f^{-1}(x) dx$ を求める際の典型的な問題である。

本問のように逆関数が陽に求まる（$y=$ の形に直せる）場合は、解法1のように直接逆関数を求めて積分するのが最も分かりやすい。しかし、逆関数が具体的な式で表せない場合には解法2の置換積分（およびそこから導かれる図形的な面積関係）の考え方が必須となる。

解法2の式変形 $\int_0^1 f^{-1}(x) dx = [xf(x)] - \int f(x)dx$ は、関数 $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれる長方形の面積から、不要な部分の面積を引くという図形的な意味を持っている。この関係性を理解しておくと、様々な逆関数の積分問題に応用できる。

答え

$$\sqrt{2}-1$$