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数学3 逆関数問題 6 解説

方針・初手

(1) では逆関数を求める定石に従い、$y = g(x)$ とおいて $x$ について解き、元の関数の値域が逆関数の定義域になる性質を利用する。

(2) では $y=g(x)$ と $y=g^{-1}(x)$ のグラフが直線 $y=x$ に関して対称であることを利用し、各曲線の交点および直線 $y=\sqrt{2}-x$ との交点を求める。

(3) では (2) で把握した図形の上下関係をもとに定積分を立式する。積分区間の境界に注意して計算する。

解法1

(1)

$y = \sqrt{2+x} \quad (x \geqq -2)$ とする。

この関数の値域は $y \geqq 0$ である。

両辺を2乗して $x$ について解くと

$$y^2 = 2+x$$

$$x = y^2 - 2$$

$x$ と $y$ を入れ替えて、逆関数は

$$y = x^2 - 2$$

元の関数 $g(x)$ の値域が逆関数 $g^{-1}(x)$ の定義域となるから、その定義域は $x \geqq 0$ である。

よって、

$$g^{-1}(x) = x^2 - 2 \quad (x \geqq 0)$$

(2)

$C_1 : y = \sqrt{2+x} \quad (x \geqq -2)$

$C_2 : y = x^2 - 2 \quad (x \geqq 0)$

$l : y = \sqrt{2}-x$

とする。

$C_1$ と $C_2$ は互いに逆関数の関係にあるため、直線 $y=x$ に関して対称である。 $C_1$ と $C_2$ の交点は直線 $y=x$ 上に存在するので、交点の $x$ 座標は

$$x^2 - 2 = x \quad (x \geqq 0)$$

$$x^2 - x - 2 = 0$$

$$(x-2)(x+1) = 0$$

$x \geqq 0$ より $x=2$ となり、交点は $(2, 2)$ である。

次に、$C_1$ と $l$ の交点を求める。

$$\sqrt{2+x} = \sqrt{2}-x$$

両辺が正となる $x \leqq \sqrt{2}$ の条件下で両辺を2乗すると

$$2+x = 2 - 2\sqrt{2}x + x^2$$

$$x^2 - (2\sqrt{2}+1)x = 0$$

$$x(x - 2\sqrt{2} - 1) = 0$$

$x \leqq \sqrt{2}$ を満たす解は $x=0$ であり、交点は $(0, \sqrt{2})$ である。

また対称性から、$C_2$ と $l$ の交点は、点 $(0, \sqrt{2})$ を直線 $y=x$ に関して対称移動した点 $(\sqrt{2}, 0)$ である。

したがって、求める図形は、上に凸の曲線 $C_1$ の点 $(0, \sqrt{2})$ から $(2,2)$ までの部分、下に凸の曲線 $C_2$ の点 $(\sqrt{2}, 0)$ から $(2,2)$ までの部分、および線分 $l$ の点 $(0, \sqrt{2})$ から $(\sqrt{2}, 0)$ までの部分の3つの境界線によって囲まれた領域である。

(3)

(2) より、区間 $0 \leqq x \leqq 2$ において、求める図形の上側の境界は $C_1$ である。下側の境界は、区間 $0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$ では直線 $l$ 、区間 $\sqrt{2} \leqq x \leqq 2$ では曲線 $C_2$ となる。

求める面積を $S$ とすると、

$$\begin{aligned} S &= \int_{0}^{2} \sqrt{2+x} \,dx - \left\{ \int_{0}^{\sqrt{2}} (\sqrt{2}-x) \,dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (x^2-2) \,dx \right\} \\ &= \left[ \frac{2}{3}(2+x)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2} - \left[ \sqrt{2}x - \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{\sqrt{2}} - \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x \right]_{\sqrt{2}}^{2} \\ &= \frac{2}{3} ( 4^{\frac{3}{2}} - 2^{\frac{3}{2}} ) - (2 - 1) - \left\{ \left( \frac{8}{3} - 4 \right) - \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} \right) \right\} \\ &= \frac{2}{3} (8 - 2\sqrt{2}) - 1 - \left( -\frac{4}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) \\ &= \frac{16 - 4\sqrt{2}}{3} - 1 + \frac{4 - 4\sqrt{2}}{3} \\ &= \frac{16 - 4\sqrt{2} - 3 + 4 - 4\sqrt{2}}{3} \\ &= \frac{17 - 8\sqrt{2}}{3} \end{aligned}$$

解法2

(3) の別解

囲まれた図形は直線 $y=x$ に関して対称である。したがって、直線 $y=x$ より下側（右下）にある部分の面積を求め、それを2倍すればよい。

求める面積 $S$ の半分を $S_1$ とおく。 $S_1$ は、直線 $y=x$ 、直線 $l : y=\sqrt{2}-x$ 、および曲線 $C_2 : y=x^2-2$ で囲まれた領域である。

直線 $y=x$ と直線 $l$ の交点の $x$ 座標は

$$x = \sqrt{2}-x$$

$$2x = \sqrt{2}$$

$$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

これと解法1の交点情報から、$S_1$ は区間 $\frac{\sqrt{2}}{2} \leqq x \leqq 2$ に存在し、上側の境界が $y=x$、下側の境界が $l$ （$\frac{\sqrt{2}}{2} \leqq x \leqq \sqrt{2}$）と $C_2$ （$\sqrt{2} \leqq x \leqq 2$）となる。

$$\begin{aligned} S_1 &= \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\sqrt{2}} \{ x - (\sqrt{2}-x) \} \,dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} \{ x - (x^2-2) \} \,dx \\ &= \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\sqrt{2}} (2x - \sqrt{2}) \,dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (-x^2 + x + 2) \,dx \\ &= \left[ x^2 - \sqrt{2}x \right]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\sqrt{2}} + \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_{\sqrt{2}}^{2} \\ &= \left\{ (2 - 2) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \right\} + \left\{ \left( -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right) - \left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} + 1 + 2\sqrt{2} \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} + \left\{ \frac{10}{3} - \left( 1 + \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) \right\} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{7}{3} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \\ &= \frac{17}{6} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \end{aligned}$$

よって、求める面積 $S$ は

$$S = 2 S_1 = 2 \left( \frac{17}{6} - \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) = \frac{17 - 8\sqrt{2}}{3}$$

解説

無理関数とその逆関数のグラフにまつわる典型的な問題である。

逆関数を求める問題では、単に $x$ と $y$ を入れ替えるだけでなく、「元の関数の値域が逆関数の定義域になる」という対応関係を明記することが不可欠である。この確認を怠ると、逆関数のグラフ全体を描いてしまい誤答となる。

互いに逆関数の関係にある2つの関数 $y=g(x)$ と $y=g^{-1}(x)$ のグラフは、常に直線 $y=x$ に関して対称となる性質を持つ。本問のように交点を求める際も、方程式 $g(x) = g^{-1}(x)$ を直接解くよりも $g(x) = x$ または $g^{-1}(x) = x$ を解く方が計算が格段に容易になる。

面積計算においては、積分区間の分割がポイントとなる。図形の対称性に着目した解法2のアプローチは、計算ミスを減らし見通しを良くするための実践的な工夫として有効である。