数学3 逆関数 問題 5 解説

方針・初手

• 指数関数の底を $2$ に統一し、$2^x$ をひとまとまりの文字（例えば $t$）と置いて式を整理する。
• 逆関数を求める際は、まず元の関数の値域（これが逆関数の定義域となる）を確認し、$x$ について解いた後に $x$ と $y$ を入れ替える。

解法1

与えられた関数は以下の通りである。

$$y = \frac{2^{3x} + 4^{x+1} + 2^{x+2}}{2^x + 2}$$

底を $2$ に統一すると、分子の各項は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} 2^{3x} &= (2^x)^3 \\ 4^{x+1} &= (2^2)^{x+1} = 2^{2x+2} = 4 \cdot (2^x)^2 \\ 2^{x+2} &= 2^2 \cdot 2^x = 4 \cdot 2^x \end{aligned}$$

ここで、$t = 2^x$ とおくと、$t > 0$ である。与式を $t$ を用いて表すと、

$$\begin{aligned} y &= \frac{t^3 + 4t^2 + 4t}{t + 2} \\ &= \frac{t(t^2 + 4t + 4)}{t + 2} \\ &= \frac{t(t + 2)^2}{t + 2} \end{aligned}$$

$t > 0$ より $t + 2 > 0$ であるから、分母と分子を $t + 2$ で約分することができ、

$$y = t(t + 2) = t^2 + 2t$$

となる。$t = 2^x$ を元に戻すと、

$$y = (2^x)^2 + 2 \cdot 2^x = 4^x + 2^{x+1}$$

これが関数を簡単にした形である。

次に逆関数を求める。 $y = t^2 + 2t$ を平方完成すると、

$$y = (t + 1)^2 - 1$$

$t > 0$ より $t + 1 > 1$ であるため、$y > 0$ となる。これが求める逆関数の定義域である。 この式を $t$ について解くと、

$$(t + 1)^2 = y + 1$$

$t + 1 > 0$ より、

$$t + 1 = \sqrt{y + 1}$$

$$t = \sqrt{y + 1} - 1$$

$t = 2^x$ であるから、

$$2^x = \sqrt{y + 1} - 1$$

両辺の、底が $2$ の対数をとると、

$$x = \log_2 (\sqrt{y + 1} - 1)$$

$x$ と $y$ を入れ替えて、求める逆関数は

$$y = \log_2 (\sqrt{x + 1} - 1) \quad (x > 0)$$

解説

• 指数関数の式変形において、共通の要素である $2^x$ を文字に置き換えることで、見慣れた多項式の分数式の問題に帰着させることができる。
• 逆関数を求める際は、元の関数の値域が逆関数の定義域になることに注意する。定義域を明記することが重要である。
• 式を「簡単にせよ」という問いに対しては、$y = 4^x + 2^{x+1}$ または $y = 2^{2x} + 2^{x+1}$ のような形で答えるのが適切である。

答え

簡単にした式：

$$y = 4^x + 2^{x+1}$$

逆関数：

$$y = \log_2 (\sqrt{x + 1} - 1) \quad (x > 0)$$