数学3 無理関数 問題 8 解説

方針・初手

無理不等式 $\sqrt{A} \leqq B$ の解法パターンに従う。根号の中身が非負である条件 $A \geqq 0$ と、右辺が非負である条件 $B \geqq 0$ を押さえたうえで、両辺を2乗して解く。

解法1

与えられた不等式が成り立つためには、根号の中身が $0$ 以上であり、かつ右辺が $0$ 以上でなければならない。したがって、以下の3つの条件を同時に満たすことと同値である。

$$\begin{cases} 3x^2 - 12 \geqq 0 & \cdots \text{①} \\ x + 4 \geqq 0 & \cdots \text{②} \\ 3x^2 - 12 \leqq (x + 4)^2 & \cdots \text{③} \end{cases}$$

条件①について、両辺を $3$ で割ると、

$$x^2 - 4 \geqq 0$$

これを解いて、

$$x \leqq -2, \quad 2 \leqq x$$

条件②について、

$$x \geqq -4$$

条件①と②の共通範囲を求めると、

$$-4 \leqq x \leqq -2, \quad 2 \leqq x \quad \cdots \text{④}$$

次に、条件③について展開して整理する。

$$3x^2 - 12 \leqq x^2 + 8x + 16$$

$$2x^2 - 8x - 28 \leqq 0$$

$$x^2 - 4x - 14 \leqq 0$$

2次方程式 $x^2 - 4x - 14 = 0$ の解は、解の公式より $x = 2 \pm \sqrt{4 - (-14)} = 2 \pm 3\sqrt{2}$ であるから、不等式の解は、

$$2 - 3\sqrt{2} \leqq x \leqq 2 + 3\sqrt{2} \quad \cdots \text{⑤}$$

ここで、$3\sqrt{2} = \sqrt{18}$ であり、$\sqrt{16} < \sqrt{18} < \sqrt{25}$ より $4 < 3\sqrt{2} < 5$ であるため、

$$-3 < 2 - 3\sqrt{2} < -2$$

$$6 < 2 + 3\sqrt{2} < 7$$

が成り立つ。したがって、④と⑤の共通範囲を数直線上などで考えて求めると、

$$2 - 3\sqrt{2} \leqq x \leqq -2, \quad 2 \leqq x \leqq 2 + 3\sqrt{2}$$

となる。

解説

無理不等式 $\sqrt{f(x)} \leqq g(x)$ は、以下の同値変形を用いて解くのが定石である。

$$f(x) \geqq 0 \quad \text{かつ} \quad g(x) \geqq 0 \quad \text{かつ} \quad f(x) \leqq \{g(x)\}^2$$

根号の中身が非負であること（真数条件に似た定義域の確認）を忘れないように注意が必要である。また、左辺が $0$ 以上であるため、それ以上の値をとる右辺も必ず $0$ 以上でなければならない。これらの前提条件を求めたうえで、不等式の両辺を2乗して解を進める。

最後に各条件の共通範囲を正確に求める際、無理数の値（今回は $3\sqrt{2}$）がどの整数と整数の間にあるかを見積もる手順が必要になる。ここを雑に処理すると範囲を誤るため、不等価評価を用いて丁寧に確認することが求められる。

答え

$$2 - 3\sqrt{2} \leqq x \leqq -2, \quad 2 \leqq x \leqq 2 + 3\sqrt{2}$$