数学3 無理関数 問題 7 解説

方針・初手

与えられた方程式は無理方程式であるため、まずは根号を外すことを考える。方程式を $\sqrt{3+x} = 3 - x^2$ の形に変形し、両辺を2乗して有理化する方針が基本となる。この際、両辺を2乗することによって同値性が崩れる（余分な解が混入する）ため、右辺が $0$ 以上であるという条件を確認するか、得られた解を元の方程式に代入して十分性を確かめる必要がある。

また、右辺の $3 - x^2$ と根号内の $x+3$ という式の形に着目し、変数を置き換えることで連立方程式に帰着させる別解も考えられる。

解法1

与えられた方程式を変形すると、以下のようになる。

$$\sqrt{3+x} = 3 - x^2$$

根号の中身は $0$ 以上であるから $x+3 \ge 0$、すなわち $x \ge -3$ である。 また、左辺が $0$ 以上であるから、右辺も $0$ 以上でなければならない。

$$3 - x^2 \ge 0$$

これを解くと、$-\sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}$ となる。これが満たすべき条件である。 この条件のもとで、方程式の両辺を2乗すると、次のようになる。

$$3 + x = (3 - x^2)^2$$

右辺を展開して整理する。

$$3 + x = x^4 - 6x^2 + 9$$

$$x^4 - 6x^2 - x + 6 = 0$$

左辺を因数分解する。$x = 1$ を代入すると成り立つため、因数定理より $x - 1$ を因数にもつ。

$$(x - 1)(x^3 + x^2 - 5x - 6) = 0$$

さらに、３次式 $x^3 + x^2 - 5x - 6$ に $x = -2$ を代入すると $0$ になるため、$x + 2$ を因数にもつ。

$$(x - 1)(x + 2)(x^2 - x - 3) = 0$$

したがって、この方程式の解は次のようになる。

$$x = 1, -2, \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$$

これらの解のうち、条件 $-\sqrt{3} \le x \le \sqrt{3}$ を満たすものを絞り込む。

(i) $x = 1$ の場合 $-\sqrt{3} \le 1 \le \sqrt{3}$ を満たすので、適する。

(ii) $x = -2$ の場合 $-2 < -\sqrt{3}$ であるから、不適である。

(iii) $x = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ の場合 $\sqrt{13} > 3$ より $\frac{1 + \sqrt{13}}{2} > 2 > \sqrt{3}$ となるため、不適である。

(iv) $x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ の場合 まず、$\frac{1 - \sqrt{13}}{2} < \sqrt{3}$ は明らかである。 次に $-\sqrt{3}$ との大小を比較する。$-\sqrt{3} < \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ と仮定して式を整理する。

$$-2\sqrt{3} < 1 - \sqrt{13}$$

$$\sqrt{13} < 1 + 2\sqrt{3}$$

両辺ともに正であるため、2乗して大小関係を比較する。

$$13 < 1 + 4\sqrt{3} + 12$$

$$0 < 4\sqrt{3}$$

これは真であるから、$-\sqrt{3} < \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ も成り立つ。 よって、条件を満たすため適する。

以上より、求める実数解は $x = 1, \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ である。

解法2

与えられた方程式は、次のように書き換えられる。

$$x^2 - 3 = -\sqrt{x+3}$$

右辺の根号部分は $0$ 以上であるから、$-\sqrt{x+3} \le 0$ である。 ここで、$y = -\sqrt{x+3}$ とおくと、$y \le 0$ である。 元の方程式から、次の関係が得られる。

$$y = x^2 - 3$$

また、$y = -\sqrt{x+3}$ の両辺を2乗すると、次のようになる。

$$y^2 = x + 3$$

$$x = y^2 - 3$$

これらより、以下の連立方程式が得られる。（ただし $y \le 0$）

$$\begin{cases} y = x^2 - 3 \\ x = y^2 - 3 \end{cases}$$

上式から下式を辺々引くと、次のようになる。

$$y - x = x^2 - y^2$$

$$x^2 - y^2 + x - y = 0$$

左辺を因数分解する。

$$(x - y)(x + y) + (x - y) = 0$$

$$(x - y)(x + y + 1) = 0$$

したがって、$y = x$ または $y = -x - 1$ となる。

(i) $y = x$ のとき $y = x^2 - 3$ に代入して整理する。

$$x^2 - x - 3 = 0$$

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$$

$y = x$ かつ $y \le 0$ より $x \le 0$ が必要である。 $\frac{1 + \sqrt{13}}{2} > 0$、$\frac{1 - \sqrt{13}}{2} < 0$ であるから、適するのは $x = \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ である。

(ii) $y = -x - 1$ のとき $y = x^2 - 3$ に代入して整理する。

$$-x - 1 = x^2 - 3$$

$$x^2 + x - 2 = 0$$

$$(x - 1)(x + 2) = 0$$

よって、$x = 1, -2$ となる。 これらが $y \le 0$ を満たすか確認する。 $x = 1$ のとき $y = -2 \le 0$ となり適する。 $x = -2$ のとき $y = 1 > 0$ となり不適である。 よって、$x = 1$ のみが適する。

以上より、求める実数解は $x = 1, \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ である。

解説

無理方程式を解く際の典型的な問題である。解法1のように両辺を2乗して解くのが最も自然なアプローチだが、その場合は「同値性の確認」が極めて重要になる。無理方程式 $A = \sqrt{B}$ を解く際、$A \ge 0$ という条件が抜け落ちてしまうと、余分な解（無縁根）が混入してしまうため、最後に必ず定義域や値域の条件で解を吟味する必要がある。

解法2は、関数 $f(x) = x^2 - 3$ とその逆関数に関連する対称性を利用した解法である。$y = -\sqrt{x+3}$ と置くことで、見通しの良い連立方程式に帰着できる。この「2次式と根号式が組み合わさった方程式」に対して、変数を置いて対称な形を作り出すテクニックは、難関大学の入試でもたびたび出題されるため、知っておくと強力な武器になる。

答え

$$x = 1, \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$$