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数学3 分数関数問題 1 解説

方針・初手

分数関数の式を $y = \frac{k}{x-p} + q$ の形に変形し、基本となる関数 $y = \frac{k}{x}$ からの平行移動量を読み取る。分子の次数を分母の次数より低くすることが基本である。

解法1

与えられた関数 $y = \frac{3x - 7}{x - 2}$ の右辺を変形する。分子を分母 $x - 2$ を用いて表すと、

$$3x - 7 = 3(x - 2) - 1$$

となるから、

$$y = \frac{3(x - 2) - 1}{x - 2} = \frac{-1}{x - 2} + 3$$

と変形できる。

一般に、$y = f(x - p) + q$ のグラフは、$y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものである。

したがって、$y = \frac{-1}{x - 2} + 3$ のグラフは、$y = -\frac{1}{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したものである。

解説

分数関数のグラフを扱う際の基本問題である。$y = \frac{ax+b}{cx+d}$ の形の関数は、分子を分母で割ることで $y = \frac{k}{x-p} + q$ の形に直すことができる。これにより、漸近線が直線 $x = p$、$y = q$ であり、基本形 $y = \frac{k}{x}$ をどのように平行移動したかが明確になる。計算ミスを防ぐため、変形後に通分して元の式に戻るか確認する習慣をつけるとよい。