数学3 分数関数 問題 2 解説

方針・初手

与えられた2つの関数の式から $y$ を消去し、$x$ についての方程式を立てる。分母に文字を含む分数関数があるため、分母が $0$ にならないという定義域の条件を最初に確認しておくことが重要である。

解法1

2つの関数 $y = \frac{x^2}{x-1}$ と $y = x^2$ のグラフの共有点の $x$ 座標は、方程式

$$\frac{x^2}{x-1} = x^2$$

の実数解である。

関数 $y = \frac{x^2}{x-1}$ が定義されるためには、分母が $0$ であってはならないため、

$$x - 1 \neq 0 \iff x \neq 1$$

である。

この条件のもとで、方程式の両辺に $x-1$ を掛けると、

$$x^2 = x^2(x - 1)$$

となる。すべての項を左辺に移行して整理する。

$$x^2 - x^2(x - 1) = 0$$

$$x^2 \{ 1 - (x - 1) \} = 0$$

$$x^2 (2 - x) = 0$$

これを解くと、

$$x = 0, \quad 2$$

となる。これらはどちらも $x \neq 1$ を満たしている。

解説

分数方程式を解く際の基本問題である。分母を払う前に、あらかじめ分母が $0$ にならない条件（定義域）を確認しておく癖をつけておきたい。今回は得られた解が定義域の条件に抵触しなかったが、無縁根（分母を $0$ にしてしまう解）が出てくる問題も多いため注意が必要である。また、方程式を解く際に $x^2$ で両辺を割ってしまうと、$x=0$ という解を失うことになるため、安易に文字で割らずに因数分解を用いて処理するのが定石である。

答え

$x = 0, \quad 2$