数学3 接線・極限との複合問題 2 解説

方針・初手

定積分で表された数列の漸化式や極限を求める問題です。被積分関数の一部を導関数とみなして部分積分を行うのが定石です。(1) では $n+1$ と $x^n$ があることに着目し、$(x^{n+1})' = (n+1)x^n$ を利用して部分積分を繰り返すことで、漸化式を導きます。 (2) では被積分関数を評価して不等式を作り、はさみうちの原理を用います。 (3) では (1) で得た関係式と (2) の極限の値を組み合わせることで、直接計算が難しい比の極限を求めます。

解法1

(1)

与えられた数列 $c_n$ は以下の通りである。

$$c_n = \int_0^1 (n+1)x^n \cos \pi x dx$$

$(x^{n+1})' = (n+1)x^n$ であることに着目し、部分積分を行う。

$$\begin{aligned} c_n &= \int_0^1 (x^{n+1})' \cos \pi x dx \\ &= \left[ x^{n+1} \cos \pi x \right]_0^1 - \int_0^1 x^{n+1} (-\pi \sin \pi x) dx \\ &= (1 \cdot \cos \pi - 0) + \pi \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx \\ &= -1 + \pi \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx \end{aligned}$$

さらにもう一度部分積分を行うために、被積分関数の一部を $\left( \frac{x^{n+2}}{n+2} \right)' = x^{n+1}$ とみなす。

$$\begin{aligned} \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx &= \int_0^1 \left( \frac{x^{n+2}}{n+2} \right)' \sin \pi x dx \\ &= \left[ \frac{x^{n+2}}{n+2} \sin \pi x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^{n+2}}{n+2} (\pi \cos \pi x) dx \\ &= 0 - \frac{\pi}{n+2} \int_0^1 x^{n+2} \cos \pi x dx \\ &= - \frac{\pi}{(n+2)(n+3)} \cdot (n+3) \int_0^1 x^{n+2} \cos \pi x dx \end{aligned}$$

ここで、与式より $c_{n+2} = (n+3) \int_0^1 x^{n+2} \cos \pi x dx$ であるから、

$$\int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx = - \frac{\pi}{(n+2)(n+3)} c_{n+2}$$

これを先ほどの $c_n$ の式に代入する。

$$c_n = -1 - \frac{\pi^2}{(n+2)(n+3)} c_{n+2}$$

これを $c_{n+2}$ について解いて整理する。

$$c_{n+2} = - \frac{(n+2)(n+3)}{\pi^2} (c_n + 1)$$

(2)

(1) の途中で得られた式を用いる。

$$c_n = -1 + \pi \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx$$

積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において、$0 \leqq \sin \pi x \leqq 1$ および $x^{n+1} \geqq 0$ であるから、以下の不等式が成り立つ。

$$0 \leqq x^{n+1} \sin \pi x \leqq x^{n+1} \cdot 1$$

各辺を $0$ から $1$ まで定積分する。

$$0 \leqq \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx \leqq \int_0^1 x^{n+1} dx$$

ここで、右辺の定積分を計算する。

$$\int_0^1 x^{n+1} dx = \left[ \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_0^1 = \frac{1}{n+2}$$

したがって、

$$0 \leqq \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx \leqq \frac{1}{n+2}$$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n+2} \to 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 x^{n+1} \sin \pi x dx = 0$$

よって、$c_n$ の極限は以下のようになる。

$$\lim_{n \to \infty} c_n = -1 + \pi \cdot 0 = -1$$

(3)

(2) より極限値 $c = -1$ である。求める極限は、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1} - c}{c_n - c} = \lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1} + 1}{c_n + 1}$$

である。ここで、(1) で得た関係式より、

$$c_n + 1 = - \frac{\pi^2}{(n+2)(n+3)} c_{n+2}$$

両辺に $(n+2)(n+3)$ を掛ける。

$$(n+2)(n+3)(c_n + 1) = -\pi^2 c_{n+2}$$

ここで $n \to \infty$ とすると、(2) より $c_{n+2} \to -1$ であるため、

$$\lim_{n \to \infty} (n+2)(n+3)(c_n + 1) = -\pi^2 \cdot (-1) = \pi^2$$

となる。これを利用するために、求める極限の式を次のように変形する。

$$\begin{aligned} \frac{c_{n+1} + 1}{c_n + 1} &= \frac{c_{n+1} + 1}{c_n + 1} \cdot \frac{(n+3)(n+4)}{(n+3)(n+4)} \cdot \frac{(n+2)(n+3)}{(n+2)(n+3)} \\ &= \frac{(n+3)(n+4)(c_{n+1} + 1)}{(n+2)(n+3)(c_n + 1)} \cdot \frac{n+2}{n+4} \end{aligned}$$

極限をとると、

$$\lim_{n \to \infty} (n+3)(n+4)(c_{n+1} + 1) = \pi^2$$

$$\lim_{n \to \infty} (n+2)(n+3)(c_n + 1) = \pi^2$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n+4} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{4}{n}} = 1$$

であるから、各部分の極限が存在し、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{c_{n+1} + 1}{c_n + 1} = \frac{\pi^2}{\pi^2} \cdot 1 = 1$$

解説

定積分で定められた数列の典型的な問題です。 (1) では、与えられた $c_n$ の式に $n+1$ という係数があることから、これを積分して $x^{n+1}$ を作り出す部分積分が有効です。2回の部分積分で自己に類似した形（$c_{n+2}$ の形）を作り出す手技は、ウォリス積分の漸化式などでも頻出です。 (2) の極限の求め方では、三角関数の有界性（ここでは積分区間に合わせて $0 \leqq \sin \pi x \leqq 1$ と評価する）を利用してはさみうちの原理に持ち込むのがセオリーです。 (3) は、そのまま $c_{n+1}$ と $c_n$ を代入しても不定形になってしまいますが、(1) で得た漸化式から $c_n + 1$ の漸近的な挙動（$(n+2)(n+3)(c_n + 1) \to \pi^2$）を抽出し、比の形に組み込む式変形が鍵となります。