数学3 接線・極限との複合問題 7 解説

方針・初手

(1) 与えられた級数が無限等比級数であることに着目し、初項と公比を確認する。公比の絶対値が $1$ より小さいことを確認したうえで、無限等比級数の和の公式を用いる。

(2) (1)で求めた関数 $f_k(t)$ を積分する。分数の積分では、分子が分母の微分となる形（$\frac{g'(t)}{g(t)}$ の形）に持ち込むのが定石である。分母分子に $e^{kt}$ を掛けることでこの形を作り出すことができる。

(3) 対数関数の極限の基本操作である。対数の中身に含まれる指数関数のうち、無限大に発散する主要な項（$e^{kx}$ や $e^k$）をくくり出し、$1$ へ収束する項を作り出して極限を計算する。

解法1

(1)

与えられた無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} e^{-kt(n-1)}$ は、初項 $1$、公比 $e^{-kt}$ の無限等比級数である。条件より、$t$ は正の実数、$k$ は自然数であるから $-kt < 0$ であり、$0 < e^{-kt} < 1$ を満たす。公比の絶対値が $1$ より小さいため、この無限等比級数は収束し、その和 $f_k(t)$ は

$$f_k(t) = \frac{1}{1 - e^{-kt}}$$

となる。

(2)

(1)より、$F_k(x) = \int_1^x \frac{1}{1 - e^{-kt}} dt$ である。被積分関数の分母分子に $e^{kt}$ を掛けると、

$$f_k(t) = \frac{e^{kt}}{e^{kt} - 1}$$

となる。これを積分する。

$$F_k(x) = \int_1^x \frac{e^{kt}}{e^{kt} - 1} dt$$

$$= \frac{1}{k} \int_1^x \frac{(e^{kt} - 1)'}{e^{kt} - 1} dt$$

積分区間 $1 \leqq t \leqq x$ において $e^{kt} - 1 > 0$ であるから、

$$= \frac{1}{k} \left[ \log (e^{kt} - 1) \right]_1^x$$

$$= \frac{1}{k} \{ \log (e^{kx} - 1) - \log (e^k - 1) \}$$

$$= \frac{1}{k} \log \frac{e^{kx} - 1}{e^k - 1}$$

(3)

(2)で求めた $F_k(x)$ を以下のように変形する。

$$F_k(x) = \frac{1}{k} \log \frac{e^{kx}(1 - e^{-kx})}{e^k(1 - e^{-k})}$$

$$= \frac{1}{k} \left\{ \log e^{k(x-1)} + \log (1 - e^{-kx}) - \log (1 - e^{-k}) \right\}$$

$$= x - 1 + \frac{1}{k} \log (1 - e^{-kx}) - \frac{1}{k} \log (1 - e^{-k})$$

ここで、$k \to \infty$ としたときの各項の極限を考える。 $x > 0$ であるから、$\lim_{k \to \infty} e^{-kx} = 0$ であり、これより $\lim_{k \to \infty} \log (1 - e^{-kx}) = \log 1 = 0$ となる。同様に、$\lim_{k \to \infty} e^{-k} = 0$ であり、これより $\lim_{k \to \infty} \log (1 - e^{-k}) = \log 1 = 0$ となる。したがって、

$$\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} \log (1 - e^{-kx}) = 0$$

$$\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} \log (1 - e^{-k}) = 0$$

となるので、求める極限は

$$\lim_{k \to \infty} F_k(x) = x - 1 + 0 - 0 = x - 1$$

となる。

解説

無限等比級数の和から定積分、そして極限へと繋がる標準的な微分積分・極限の総合問題である。 (2)の積分において、$\frac{1}{1 - e^{-kt}}$ をそのまま積分しようとすると難航するが、分母分子に $e^{kt}$ を掛けて $\frac{g'(t)}{g(t)}$ の形を作り出すという式変形は頻出であるため、確実に押さえておきたい。また、$1 - e^{-kt} = u$ や $e^{-kt} = u$ などの置換積分を行ってもよい。 (3)では、対数の中に $k \to \infty$ で発散する項と $0$ に収束する項が混在しているため、「一番大きい項でくくる」という極限計算の定石に従い $e^{kx}$ や $e^k$ をくくり出すことで、不定形を解消し見通しよく計算できる。