数学3 接線・極限との複合 問題 9 解説

方針・初手

2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ が共有点において共通の接線をもつ（接する）ための条件は、共有点の $x$ 座標を $t$ とおくと、以下の2式が成り立つことである。

$$f(t) = g(t)$$

$$f'(t) = g'(t)$$

この条件から連立方程式を立てて接点の $x$ 座標 $t$ を求め、そこから $a$ の値を決定する。面積は基本的な定積分（または置換積分）で求められ、極限は与えられたネイピア数 $e$ の定義式を利用する。

解法1

(1)

$f(x) = \frac{1}{x}$, $g(x) = ax(1-x)^{2n}$ とおく。

関数 $f(x)$ と $g(x)$ をそれぞれ微分すると、

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$

$$g'(x) = a \left\{ 1 \cdot (1-x)^{2n} + x \cdot 2n(1-x)^{2n-1} \cdot (-1) \right\}$$

$$g'(x) = a(1-x)^{2n-1} \{ (1-x) - 2nx \} = a(1-x)^{2n-1} \{ 1 - (2n+1)x \}$$

となる。2曲線が $x=t$ において共通の接線をもつとすると、$f(t) = g(t)$ かつ $f'(t) = g'(t)$ が成り立つ。

$$\frac{1}{t} = at(1-t)^{2n} \quad \cdots \text{①}$$

$$-\frac{1}{t^2} = a(1-t)^{2n-1} \{ 1 - (2n+1)t \} \quad \cdots \text{②}$$

$t=1$ とすると①の右辺が $0$ となり等式が成立しないため、$t \neq 1$ である。 ①の両辺を $t$ で割ると、

$$\frac{1}{t^2} = a(1-t)^{2n} \quad \cdots \text{①}'$$

②の両辺に $(1-t)$ を掛けると、

$$-\frac{1-t}{t^2} = a(1-t)^{2n} \{ 1 - (2n+1)t \}$$

この式に①'を代入すると、

$$-\frac{1-t}{t^2} = \frac{1}{t^2} \{ 1 - (2n+1)t \}$$

$t \neq 0$ より両辺に $t^2$ を掛けて整理する。

$$-(1-t) = 1 - (2n+1)t$$

$$t - 1 = 1 - (2n+1)t$$

$$(2n+2)t = 2$$

$$t = \frac{1}{n+1}$$

$n$ は自然数であるから、$0 < t < 1$ となり条件を満たす。 この $t$ の値を①'に代入して $a$ を求める。

$$a = \frac{1}{t^2(1-t)^{2n}} = \frac{1}{\left(\frac{1}{n+1}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^{2n}}$$

$$a = (n+1)^2 \left( \frac{n+1}{n} \right)^{2n} = (n+1)^2 \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2n}$$

(2)

(1)より、$a > 0$ である。曲線 $y = ax(1-x)^{2n}$ は、$0 \leqq x \leqq 1$ において $y \geqq 0$ である。 したがって、求める面積 $S_n$ は次のように計算できる。

$$S_n = \int_{0}^{1} ax(1-x)^{2n} dx$$

定積分 $\int_{0}^{1} x(1-x)^{2n} dx$ を計算する。

$$\int_{0}^{1} x(1-x)^{2n} dx = \int_{0}^{1} \{ 1 - (1-x) \} (1-x)^{2n} dx$$

$$= \int_{0}^{1} \{ (1-x)^{2n} - (1-x)^{2n+1} \} dx$$

$$= \left[ -\frac{(1-x)^{2n+1}}{2n+1} + \frac{(1-x)^{2n+2}}{2n+2} \right]_{0}^{1}$$

$$= 0 - \left( -\frac{1}{2n+1} + \frac{1}{2n+2} \right)$$

$$= \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+2} = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}$$

よって、$S_n$ は以下のようになる。

$$S_n = a \cdot \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \frac{(n+1)^2 \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2n}}{2(n+1)(2n+1)}$$

$$S_n = \frac{n+1}{2(2n+1)} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2n}$$

極限 $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求める。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{2\left(2+\frac{1}{n}\right)} = \frac{1}{4}$$

与えられた極限 $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$ を用いると、

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2n} = \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right\}^2 = e^2$$

したがって、求める極限は以下の通りである。

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{4} \cdot e^2 = \frac{e^2}{4}$$

解説

2つの曲線が接するという条件を正しく立式できるかが鍵である。連立方程式を解く際は、一方の式がもう一方の式の一部を含む形になるように工夫すると計算がスムーズに進む。

面積計算における定積分では、$x$ を $1-(1-x)$ と変形して展開するか、あるいは $1-x = u$ と置換積分を行うのが定石である。ここで部分積分を用いることも可能であるが、多項式の展開を利用するほうが計算ミスを防ぎやすい。最後に極限をとる際は、$n$ を含む項をネイピア数 $e$ の定義の形と有利関数の極限に正しく分離して処理する。

答え

(1) $a = (n+1)^2 \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{e^2}{4}$