数学3 接線・極限との複合問題 13 解説

方針・初手

曲線 $y=\sqrt{x}$ の導関数から、指定された点における接線と法線の方程式を立てる。面積を求める際は、接線・法線の $x$ 切片を求め、グラフの概形から積分区間と上下関係を正確に把握する。面積計算は $x$ 軸方向への定積分（図形の分割を利用する）か、$y$ 軸方向への定積分のいずれかを選択する。

解法1

$f(x) = \sqrt{x}$ とおくと、$x > 0$ において $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ である。

(1)

点 $(a, \sqrt{a})$ における接線の方程式は、

$$y - \sqrt{a} = \frac{1}{2\sqrt{a}}(x - a)$$

$$y = \frac{1}{2\sqrt{a}}x + \frac{\sqrt{a}}{2}$$

この接線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は、$y = 0$ とすると

$$\frac{1}{2\sqrt{a}}x + \frac{\sqrt{a}}{2} = 0$$

$$x = -a$$

図より、求める面積 $S_1(a)$ は、底辺 $2a$、高さ $\sqrt{a}$ の直角三角形（頂点が $(-a, 0), (a, 0), (a, \sqrt{a})$）の面積から、曲線 $y = \sqrt{x} \ (0 \le x \le a)$ と $x$ 軸、$x=a$ で囲まれた面積を引いたものに等しい。

$$S_1(a) = \frac{1}{2} \cdot \{ a - (-a) \} \cdot \sqrt{a} - \int_0^a \sqrt{x} dx$$

$$S_1(a) = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \sqrt{a} - \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_0^a$$

$$S_1(a) = a\sqrt{a} - \frac{2}{3}a\sqrt{a} = \frac{1}{3}a\sqrt{a}$$

(2)

点 $(a, \sqrt{a})$ における法線の方程式は、接線の傾きが $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ であることから、法線の傾きは $-2\sqrt{a}$ となる。

$$y - \sqrt{a} = -2\sqrt{a}(x - a)$$

$$y = -2\sqrt{a}x + 2a\sqrt{a} + \sqrt{a}$$

この法線と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は、$y = 0$ とすると

$$2\sqrt{a}x = \sqrt{a}(2a + 1)$$

$a > 0$ より $\sqrt{a} \neq 0$ であるから、両辺を割って

$$x = a + \frac{1}{2}$$

図より、求める面積 $S_2(a)$ は、曲線 $y = \sqrt{x} \ (0 \le x \le a)$ と $x$ 軸、$x=a$ で囲まれた面積に、底辺 $\frac{1}{2}$、高さ $\sqrt{a}$ の直角三角形（頂点が $(a, 0), \left(a + \frac{1}{2}, 0\right), (a, \sqrt{a})$）の面積を足したものに等しい。

$$S_2(a) = \int_0^a \sqrt{x} dx + \frac{1}{2} \cdot \left\{ \left( a + \frac{1}{2} \right) - a \right\} \cdot \sqrt{a}$$

$$S_2(a) = \frac{2}{3}a\sqrt{a} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a}$$

$$S_2(a) = \frac{2}{3}a\sqrt{a} + \frac{1}{4}\sqrt{a}$$

(3)

(1), (2) の結果より、極限は次のように計算できる。

$$\lim_{a \to +\infty} \frac{S_1(a)}{S_2(a)} = \lim_{a \to +\infty} \frac{\frac{1}{3}a\sqrt{a}}{\frac{2}{3}a\sqrt{a} + \frac{1}{4}\sqrt{a}}$$

分母・分子を $a\sqrt{a}$ で割ると、

$$\lim_{a \to +\infty} \frac{S_1(a)}{S_2(a)} = \lim_{a \to +\infty} \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3} + \frac{1}{4a}}$$

$a \to +\infty$ のとき $\frac{1}{4a} \to 0$ であるから、

$$\lim_{a \to +\infty} \frac{S_1(a)}{S_2(a)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}$$

解法2

面積を求める際に、$y$ 軸方向への積分（$x$ を $y$ の関数として扱う）を行う別解を示す。

(1)

接線の方程式は解法1より $y = \frac{1}{2\sqrt{a}}x + \frac{\sqrt{a}}{2}$ であり、これを $x$ について解くと

$$x = 2\sqrt{a}y - a$$

曲線 $y = \sqrt{x} \ (x \ge 0)$ は $x = y^2 \ (y \ge 0)$ と表せる。囲まれた図形は、$y$ の区間 $[0, \sqrt{a}]$ において、右側が $x = y^2$、左側が $x = 2\sqrt{a}y - a$ の曲線である。したがって、面積 $S_1(a)$ は

$$S_1(a) = \int_0^{\sqrt{a}} \{ y^2 - (2\sqrt{a}y - a) \} dy$$

$$S_1(a) = \int_0^{\sqrt{a}} (y - \sqrt{a})^2 dy$$

$$S_1(a) = \left[ \frac{(y - \sqrt{a})^3}{3} \right]_0^{\sqrt{a}}$$

$$S_1(a) = 0 - \frac{(-\sqrt{a})^3}{3} = \frac{1}{3}a\sqrt{a}$$

(2)

法線の方程式は解法1より $y = -2\sqrt{a}x + \sqrt{a}(2a + 1)$ であり、これを $x$ について解くと

$$x = -\frac{y}{2\sqrt{a}} + a + \frac{1}{2}$$

囲まれた図形は、$y$ の区間 $[0, \sqrt{a}]$ において、右側が法線、左側が曲線 $x = y^2$ である。したがって、面積 $S_2(a)$ は

$$S_2(a) = \int_0^{\sqrt{a}} \left\{ \left(-\frac{y}{2\sqrt{a}} + a + \frac{1}{2}\right) - y^2 \right\} dy$$

$$S_2(a) = \left[ -\frac{y^2}{4\sqrt{a}} + \left(a + \frac{1}{2}\right)y - \frac{y^3}{3} \right]_0^{\sqrt{a}}$$

$$S_2(a) = -\frac{a}{4\sqrt{a}} + \left(a + \frac{1}{2}\right)\sqrt{a} - \frac{a\sqrt{a}}{3}$$

$$S_2(a) = -\frac{\sqrt{a}}{4} + a\sqrt{a} + \frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{3}a\sqrt{a}$$

$$S_2(a) = \left(1 - \frac{1}{3}\right)a\sqrt{a} + \left(-\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right)\sqrt{a}$$

$$S_2(a) = \frac{2}{3}a\sqrt{a} + \frac{1}{4}\sqrt{a}$$

以降の(3)の計算は解法1と同様である。

解説

微分法を用いて接線・法線を求め、定積分で面積を計算し、極限を求める標準的な微積分総合問題である。面積計算において、$x$ 軸方向で積分区間を分ける（三角形と曲線下部の面積の和・差と見る）アプローチと、$y$ 軸方向に積分するアプローチの2つがある。本問のように放物線を横向きにしたような曲線の場合は、$y$ 軸方向で積分（解法2）すると、区間分割が不要になるため計算の見通しが立ちやすい。特に(1)において被積分関数が $(y-\sqrt{a})^2$ という完全平方式になるのは、図形的に接点での差を取っているためであり、これにより積分計算を簡略化できる。