数学3 接線・極限との複合問題 21 解説

方針・初手

指数関数の微分を用いて接線の方程式を求め、指定された線分や面積を計算していく。面積を求める際は、接線が $x$ 軸の正の領域にあることを $1 < a < 2$ の条件を用いて確認する。また、(4)の最小値を求めるための両端の点の値の比較では、対数関数と有理関数の大小比較となるため、新しい関数を設定して微分により符号を判定する。

解法1

(1) $y = a^x$ について、$y' = a^x \log a$ である。点 $(t, a^t)$ における接線 $l$ の方程式は、

$$y - a^t = a^t \log a (x - t)$$

よって、接線 $l$ の方程式は、

$$y = (a^t \log a)x + a^t(1 - t \log a)$$

となる。 $l$ と $y$ 軸との交点の $y$ 座標 $b(t)$ は、$x = 0$ を代入して、

$$b(t) = a^t(1 - t \log a)$$

である。$b(t)$ を $t$ について微分すると、

$$b'(t) = a^t \log a (1 - t \log a) + a^t (-\log a) = -t a^t (\log a)^2$$

問題の条件 $1 < a < 2$ より $\log a > 0$ であり、$0 < t < 1$ において $b'(t) < 0$ となるため、$b(t)$ は単調減少する。したがって、$b(t)$ は $t=1$ のとき最小となる。最小値は、

$$b(1) = a(1 - \log a)$$

である。

(2) $l$ と $x = 1$ の交点の $y$ 座標は、

$$y = a^t \log a + a^t(1 - t \log a) = a^t \{ 1 + (1 - t)\log a \}$$

ここで、$1 < a < 2 < e$ より $0 < \log a < 1$ である。 $0 \leqq t \leqq 1$ において、$1 - t \log a \geqq 1 - \log a > 0$ であるため、$x=0$ における $y$ 座標 $b(t)$ は正である。また、$1 + (1 - t)\log a > 0$ であるため、$x=1$ における $y$ 座標も正である。よって、接線 $l$ は区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において $x$ 軸の上側にあり、求める面積 $S(t)$ は台形の面積の公式を用いて、

$$S(t) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \left[ a^t(1 - t \log a) + a^t \{ 1 + (1 - t)\log a \} \right]$$

$$S(t) = \frac{1}{2} a^t \{ 2 + (1 - 2t)\log a \}$$

となる。

(3) $S(t)$ を $t$ について微分すると、

$$S'(t) = \frac{1}{2} \left[ a^t \log a \{ 2 + (1 - 2t)\log a \} + a^t (-2 \log a) \right]$$

$$S'(t) = \frac{1}{2} a^t (\log a)^2 (1 - 2t)$$

$S'(t) = 0$ となるのは $1 - 2t = 0$、すなわち $t = \frac{1}{2}$ のときである。 $0 \leqq t \leqq 1$ における $S(t)$ の増減は以下のようになる。

$0 \leqq t < \frac{1}{2}$ のとき、$S'(t) > 0$
$t = \frac{1}{2}$ のとき、$S'(t) = 0$
$\frac{1}{2} < t \leqq 1$ のとき、$S'(t) < 0$

したがって、$S(t)$ は $t = \frac{1}{2}$ で最大となる。最大値は、

$$S\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} a^{\frac{1}{2}} \{ 2 + (1 - 1)\log a \} = \sqrt{a}$$

である。

(4) (3)の増減より、$S(t)$ の最小値は $S(0)$ または $S(1)$ である。それぞれの値を計算すると、

$$S(0) = \frac{1}{2} a^0 (2 + \log a) = 1 + \frac{1}{2} \log a$$

$$S(1) = \frac{1}{2} a^1 (2 - \log a) = a - \frac{a}{2} \log a$$

ここで、$S(1) - S(0)$ の符号を調べる。

$$S(1) - S(0) = a - 1 - \frac{a+1}{2} \log a$$

$f(x) = x - 1 - \frac{x+1}{2} \log x \quad (x > 0)$ とおき、この関数の増減を調べる。

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{2} \log x - \frac{x+1}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2x} - \frac{1}{2} \log x = \frac{x - 1 - x \log x}{2x}$$

さらに、分子について $g(x) = x - 1 - x \log x$ とおくと、

$$g'(x) = 1 - \left( \log x + x \cdot \frac{1}{x} \right) = -\log x$$

$x > 1$ のとき $g'(x) < 0$ であるから、$g(x)$ は単調減少する。 $g(1) = 0$ であるから、$x > 1$ において $g(x) < 0$ となる。したがって、$x > 1$ において $f'(x) < 0$ となり、$f(x)$ も単調減少する。 $f(1) = 0$ であるから、$x > 1$ において $f(x) < 0$ となる。問題の条件 $1 < a < 2$ より $a > 1$ であるから、$f(a) < 0$、すなわち $S(1) - S(0) < 0$ が成り立つ。よって、$S(1) < S(0)$ となり、最小値は $S(1)$ である。

$$S(1) = \frac{a(2 - \log a)}{2}$$

解説

接線の方程式の導出から面積計算、そして導関数の符号を調べる微分の総合問題である。 (2)で台形であることを式にする際、$1 < a < 2$ の条件を使って各頂点の $y$ 座標が正であることを確認する手順を踏むと、より論理的に厳密な解答になる。 (4)での端点の値の比較は、対数を含む関数と有理関数の大小比較となるため、新しい関数を設定して微分を用いる典型的な手法が必要となる。関数 $f(x)$ を微分しても符号がすぐに判定できないため、さらに分子を取り出してもう一度微分する（第2次導関数を調べることと同義）プロセスがポイントである。