数学3 接線・極限との複合問題 22 解説

方針・初手

(1)は、2曲線が点 $\text{P}(x=t)$ で共通の接線をもつ条件を立式する。関数値が一致し、さらに微分係数も一致することから連立方程式を解けばよい。 (2)は、それぞれの曲線と $x$ 軸、$x=t$ で囲まれる図形を図示し、積分区間に注意して定積分を計算する。 (3)は、差をとって関数をおき、微分を繰り返して導関数の符号を調べることで不等式を証明する典型的な手法を用いる。 (4)は、(2)の結果を(3)の不等式が利用できる形に変形し、はさみうちの原理を用いて極限を求める。

解法1

(1)

$f(x) = x^n$, $g(x) = a\log x$ とおく。これらを微分すると、

$$f'(x) = nx^{n-1}, \quad g'(x) = \frac{a}{x}$$

2曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が $x=t$ である点Pで共通の接線をもつための条件は、$f(t) = g(t)$ かつ $f'(t) = g'(t)$ であるから、

$$\begin{cases} t^n = a\log t \quad \cdots \text{①} \\ nt^{n-1} = \frac{a}{t} \quad \cdots \text{②} \end{cases}$$

$t > 0$ より、②の両辺に $t$ を掛けると $nt^n = a$ を得る。これを①に代入すると、

$$t^n = nt^n\log t$$

$t > 0$ より $t^n \neq 0$ であるから、両辺を $t^n$ で割ると $1 = n\log t$ となる。したがって、

$$\log t = \frac{1}{n} \implies t = e^{\frac{1}{n}}$$

これを $a = nt^n$ に代入すると、

$$a = n \left( e^{\frac{1}{n}} \right)^n = ne$$

以上より、$a = ne, \ t = e^{\frac{1}{n}}$ と求まる。

(2)

$S_1$ は $y=x^n \ (x \geqq 0)$ と $x$ 軸、$x=t$ で囲まれた面積であるから、

$$S_1 = \int_{0}^{t} x^n \,dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{0}^{t} = \frac{t^{n+1}}{n+1}$$

また、$a = ne > 0$ であり、$y = a\log x$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標は $x=1$ である。 $n$ は正の整数であるから $\frac{1}{n} > 0$ であり、$t = e^{\frac{1}{n}} > 1$ となる。したがって、$S_2$ は区間 $[1, t]$ における定積分となるから、

$$\begin{aligned} S_2 &= \int_{1}^{t} a\log x \,dx \\ &= a \bigl[ x\log x - x \bigr]_{1}^{t} \\ &= a(t\log t - t) - a(-1) \\ &= a(t\log t - t + 1) \end{aligned}$$

ここで、$a = nt^n, \ \log t = \frac{1}{n}$ を代入して変形する。

$$\begin{aligned} S_2 &= nt^n \left( t \cdot \frac{1}{n} - t + 1 \right) \\ &= t^{n+1} - nt^{n+1} + nt^n \\ &= t^{n+1} \left( 1 - n + \frac{n}{t} \right) \end{aligned}$$

以上より、求める比 $\frac{S_2}{S_1}$ は、

$$\begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &= \frac{t^{n+1} \left( 1 - n + \frac{n}{t} \right)}{\frac{t^{n+1}}{n+1}} \\ &= (n+1) \left( 1 - n + ne^{-\frac{1}{n}} \right) \end{aligned}$$

(3)

(a)

$h_1(x) = \frac{x^2}{2} - (e^{-x} + x - 1)$ とおく。$x$ について微分すると、

$$\begin{aligned} h_1'(x) &= x - (-e^{-x} + 1) = x + e^{-x} - 1 \\ h_1''(x) &= 1 - e^{-x} \end{aligned}$$

$x \geqq 0$ のとき $-x \leqq 0$ より $e^{-x} \leqq 1$ であるから、$h_1''(x) \geqq 0$ が成り立つ。よって、$x \geqq 0$ において $h_1'(x)$ は単調に増加する。 $h_1'(0) = 0 + 1 - 1 = 0$ であるから、$x \geqq 0$ のとき $h_1'(x) \geqq 0$ となる。よって、$x \geqq 0$ において $h_1(x)$ は単調に増加する。 $h_1(0) = 0 - (1 + 0 - 1) = 0$ であるから、$x \geqq 0$ のとき $h_1(x) \geqq 0$ となる。したがって、$x \geqq 0$ のとき $e^{-x} + x - 1 \leqq \frac{x^2}{2}$ が成り立つ。

(b)

$h_2(x) = (e^{-x} + x - 1) - \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \right)$ とおく。$x$ について微分を繰り返すと、

$$\begin{aligned} h_2'(x) &= -e^{-x} + 1 - x + \frac{x^2}{2} \\ h_2''(x) &= e^{-x} - 1 + x \\ h_2'''(x) &= -e^{-x} + 1 \end{aligned}$$

(a)の議論と同様に、$x \geqq 0$ のとき $e^{-x} \leqq 1$ であるから、$h_2'''(x) \geqq 0$ が成り立つ。よって、$x \geqq 0$ において $h_2''(x)$ は単調に増加する。 $h_2''(0) = 1 - 1 + 0 = 0$ であるから、$x \geqq 0$ のとき $h_2''(x) \geqq 0$ となる。よって、$x \geqq 0$ において $h_2'(x)$ は単調に増加する。 $h_2'(0) = -1 + 1 - 0 + 0 = 0$ であるから、$x \geqq 0$ のとき $h_2'(x) \geqq 0$ となる。よって、$x \geqq 0$ において $h_2(x)$ は単調に増加する。 $h_2(0) = (1 + 0 - 1) - 0 = 0$ であるから、$x \geqq 0$ のとき $h_2(x) \geqq 0$ となる。したがって、$x \geqq 0$ のとき $\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \leqq e^{-x} + x - 1$ が成り立つ。

(4)

(2)の結果より、

$$\frac{S_2}{S_1} = (n+1) \left( 1 - n + ne^{-\frac{1}{n}} \right)$$

ここで、$x = \frac{1}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $x \to +0$ である。式全体を $x$ を用いて表すと、

$$\begin{aligned} \frac{S_2}{S_1} &= \left( \frac{1}{x} + 1 \right) \left( 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} e^{-x} \right) \\ &= \frac{1+x}{x} \cdot \frac{x - 1 + e^{-x}}{x} \\ &= (1+x) \frac{e^{-x} + x - 1}{x^2} \end{aligned}$$

(3)の(a), (b)の結果から、$x \geqq 0$ のとき次の不等式が成り立つ。

$$\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \leqq e^{-x} + x - 1 \leqq \frac{x^2}{2}$$

$x > 0$ のとき、各辺を $x^2$ で割ると、

$$\frac{1}{2} - \frac{x}{6} \leqq \frac{e^{-x} + x - 1}{x^2} \leqq \frac{1}{2}$$

$x \to +0$ のとき、左辺の $\frac{1}{2} - \frac{x}{6} \to \frac{1}{2}$ であり、右辺も $\frac{1}{2}$ であるから、はさみうちの原理より、

$$\lim_{x \to +0} \frac{e^{-x} + x - 1}{x^2} = \frac{1}{2}$$

したがって、求める極限値は、

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{S_2}{S_1} &= \lim_{x \to +0} (1+x) \frac{e^{-x} + x - 1}{x^2} \\ &= (1+0) \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$$

解説

微積分を総合的に問う典型的な国公立大の標準問題である。 (1)での共通接線の条件は、$f(t)=g(t)$ および $f'(t)=g'(t)$ の立式さえできれば問題なく解けるだろう。 (2)の面積計算では、対数関数側の積分区間が $[1, t]$ になることに注意が必要である。また、後の(4)を見据えて、比をとった後に式を整理しておくことが肝要である。 (3)は、(4)で利用するための極限の評価式（マクローリン展開の低次項の評価）を与える誘導である。微分して単調性を調べる基本手順を丁寧に踏めばよい。 (4)では、(2)の解答を $x = \frac{1}{n}$ とおいて $x \to +0$ の極限に帰着させる。式の形から(3)の不等式を利用すべき部分 $\frac{e^{-x} + x - 1}{x^2}$ を抽出し、はさみうちの原理を適用する流れは非常によく出題される形なので確実に押さえておきたい。