数学3 接線・極限との複合問題 23 解説

方針・初手

曲線 $y = \tan x$ と直線 $y = ax$ の $0 < x < \frac{\pi}{2}$ における交点の $x$ 座標を文字でおき、面積 $S$ を計算する。その後、求める極限 $\lim_{a \to \infty} \frac{S}{a}$ を、設定した文字の極限へと置き換えて計算する。与えられた極限 $\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ の形を作り出すために、式変形を工夫することがポイントである。

解法1

$f(x) = \tan x - ax$ とおく。

$$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - a$$

$a > 1$ であるから、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において $\cos x = \frac{1}{\sqrt{a}}$ を満たす $x$ がただ一つ存在する。これを $\alpha$ とおくと、$0 < x < \alpha$ のとき $f'(x) < 0$、$\alpha < x < \frac{\pi}{2}$ のとき $f'(x) > 0$ となる。 $f(0) = 0$ であり、$x \to \frac{\pi}{2}-0$ のとき $f(x) \to \infty$ であるから、増減表を考慮すると、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ において $f(x) = 0$ を満たす $x$ はただ一つ存在する。これを $\beta$ とおくと、$0 < x < \beta$ において $f(x) < 0$ すなわち $\tan x < ax$ である。

これより、曲線 $y = \tan x$ と直線 $y = ax$ で囲まれた部分の面積 $S$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} S &= \int_0^\beta (ax - \tan x) dx \\ &= \left[ \frac{1}{2}ax^2 + \log(\cos x) \right]_0^\beta \\ &= \frac{1}{2}a\beta^2 + \log(\cos \beta) \end{aligned}$$

したがって、求める式 $\frac{S}{a}$ は次のように表される。

$$\frac{S}{a} = \frac{1}{2}\beta^2 + \frac{\log(\cos \beta)}{a}$$

ここで、$f(\beta) = 0$ より $\tan \beta = a\beta$ であるから、$a = \frac{\tan \beta}{\beta} = \frac{\sin \beta}{\beta \cos \beta}$ と書ける。これを第2項の分母に代入する。

$$\begin{aligned} \frac{\log(\cos \beta)}{a} &= \frac{\log(\cos \beta)}{\frac{\sin \beta}{\beta \cos \beta}} \\ &= \frac{\beta}{\sin \beta} \cdot \cos \beta \log(\cos \beta) \end{aligned}$$

次に $a \to \infty$ としたときの $\beta$ の極限を考える。 $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$ であり、$a = \frac{\tan \beta}{\beta} \to \infty$ となるためには $\tan \beta \to \infty$ となる必要がある。したがって、$a \to \infty$ のとき $\beta \to \frac{\pi}{2}-0$ となる。

このとき、$t = \cos \beta$ とおくと、$t \to +0$ である。与えられた極限 $\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ を用いると、次のようになる。

$$\lim_{\beta \to \frac{\pi}{2}-0} \cos \beta \log(\cos \beta) = \lim_{t \to +0} t \log t = 0$$

ゆえに、第2項の極限は以下の通りとなる。

$$\lim_{a \to \infty} \frac{\log(\cos \beta)}{a} = \lim_{\beta \to \frac{\pi}{2}-0} \left( \frac{\beta}{\sin \beta} \cdot \cos \beta \log(\cos \beta) \right) = \frac{\frac{\pi}{2}}{1} \cdot 0 = 0$$

以上より、求める極限は次のように求まる。

$$\lim_{a \to \infty} \frac{S}{a} = \lim_{\beta \to \frac{\pi}{2}-0} \left( \frac{1}{2}\beta^2 \right) + 0 = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 = \frac{\pi^2}{8}$$

解説

交点を直接求めることができない超越方程式に対して、交点を文字で置き、極限をその文字の極限に帰着させる典型問題である。面積計算時に $\int \tan x dx = -\log|\cos x| + C$ となる基本の積分を用いている。計算過程で現れる極限不定形に対して、条件として与えられている $\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ を適用できるよう、$\cos \beta \log(\cos \beta)$ という形を自ら作り出す部分が最大の山場である。置換積分や極限の置き換えを丁寧に記述し、論理に飛躍を持たせないことが重要である。