数学3 接線・極限との複合 問題 29 解説

方針・初手

(1) は、まず曲線上の点における接線の方程式を求めます。その後、接線と $x$ 軸、$x=0$、$x=p$ で囲まれた図形が台形になることに着目し、面積 $A(t)$ を $t$ の関数として立式します。これを $t$ について微分して最小値を与える $t$ を求めます。

(2) は、曲線の定積分により面積 $B$ を計算し、(1) で求めた $A$ とともに極限の式に代入します。対数の差の形を作り出し、与えられた極限の公式 $\lim_{x\to\infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を活用して計算を進めます。

解法1

(1)

曲線 $C: y = \log(2x+1)$ を微分すると、

$$y' = \frac{2}{2x+1}$$

曲線 $C$ 上の点 $(t, \log(2t+1))$ における接線 $l_1$ の方程式は、

$$y - \log(2t+1) = \frac{2}{2t+1}(x - t)$$

すなわち、

$$y = \frac{2}{2t+1}x - \frac{2t}{2t+1} + \log(2t+1)$$

ここで、$t > 0$ において接線 $l_1$ が常に $y > 0$ の領域にあることを確認する。接線 $l_1$ の $y$ 切片を $g(t)$ とおくと、

$$g(t) = \log(2t+1) - \frac{2t}{2t+1}$$

これを $t$ について微分すると、

$$g'(t) = \frac{2}{2t+1} - \frac{2(2t+1) - 2t \cdot 2}{(2t+1)^2} = \frac{2}{2t+1} - \frac{2}{(2t+1)^2} = \frac{4t}{(2t+1)^2}$$

$t > 0$ において $g'(t) > 0$ であり、$g(0) = 0$ であるから、$t > 0$ のとき常に $g(t) > 0$ となる。 さらに、接線 $l_1$ の傾き $\frac{2}{2t+1}$ は $t > 0$ で正であるから、$0 \le x \le p$ の区間において接線 $l_1$ は $x$ 軸の上側にある。

接線 $l_1$、$x$ 軸、および2直線 $x=0$、$x=p$ で囲まれた図形は台形であるから、その面積 $A(t)$ は、

$$A(t) = \frac{1}{2} \left( \left(-\frac{2t}{2t+1} + \log(2t+1)\right) + \left(\frac{2(p-t)}{2t+1} + \log(2t+1)\right) \right) p$$

$$= \frac{p}{2} \left( \frac{2p - 4t}{2t+1} + 2\log(2t+1) \right) = \frac{p(p-2t)}{2t+1} + p\log(2t+1)$$

$A(t)$ を $t$ について微分すると、

$$A'(t) = p \left( \frac{-2(2t+1) - (p-2t) \cdot 2}{(2t+1)^2} + \frac{2}{2t+1} \right)$$

$$= p \left( \frac{-4t - 2 - 2p + 4t + 2(2t+1)}{(2t+1)^2} \right) = \frac{p(4t - 2p)}{(2t+1)^2}$$

$t > 0$ において $A'(t) = 0$ となるのは、$t = \frac{p}{2}$ のときである（$p>0$ より $\frac{p}{2} > 0$）。 $t > 0$ における $A(t)$ の増減表は以下のようになる。

ゆえに、$t = \frac{p}{2}$ のとき $A(t)$ は最小値をとる。 最小値 $A$ は、

$$A = A\left(\frac{p}{2}\right) = \frac{p(p-p)}{p+1} + p\log\left(2 \cdot \frac{p}{2} + 1\right) = p\log(p+1)$$

(2)

曲線 $C$ と $x$ 軸および直線 $x=p$ で囲まれた図形の面積 $B$ を部分積分を用いて求める。

$$B = \int_0^p \log(2x+1) \, dx = \Big[ x \log(2x+1) \Big]_0^p - \int_0^p x \cdot \frac{2}{2x+1} \, dx$$

$$= p\log(2p+1) - \int_0^p \frac{2x+1-1}{2x+1} \, dx$$

$$= p\log(2p+1) - \int_0^p \left( 1 - \frac{1}{2x+1} \right) dx$$

$$= p\log(2p+1) - \left[ x - \frac{1}{2}\log(2x+1) \right]_0^p$$

$$= p\log(2p+1) - p + \frac{1}{2}\log(2p+1) = \frac{2p+1}{2} \log(2p+1) - p$$

求める極限値は、これらを代入して計算する。

$$\lim_{p\to\infty} \frac{A-B}{p} = \lim_{p\to\infty} \frac{p\log(p+1) - \frac{2p+1}{2}\log(2p+1) + p}{p}$$

$$= \lim_{p\to\infty} \left( \log(p+1) - \frac{2p+1}{2p} \log(2p+1) + 1 \right)$$

$$= \lim_{p\to\infty} \left( \log(p+1) - \left(1 + \frac{1}{2p}\right) \log(2p+1) + 1 \right)$$

$$= \lim_{p\to\infty} \left( \log(p+1) - \log(2p+1) - \frac{\log(2p+1)}{2p} + 1 \right)$$

$$= \lim_{p\to\infty} \left( \log \frac{p+1}{2p+1} - \frac{\log(2p+1)}{2p} + 1 \right)$$

ここで、第1項の極限は、

$$\lim_{p\to\infty} \log \frac{p+1}{2p+1} = \lim_{p\to\infty} \log \frac{1+\frac{1}{p}}{2+\frac{1}{p}} = \log \frac{1}{2} = -\log 2$$

また、第2項については $2p+1 = x$ とおくと、$p \to \infty$ のとき $x \to \infty$ であり、与えられた極限 $\lim_{x\to\infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を用いると、

$$\lim_{p\to\infty} \frac{\log(2p+1)}{2p} = \lim_{p\to\infty} \left( \frac{\log(2p+1)}{2p+1} \cdot \frac{2p+1}{2p} \right) = 0 \cdot 1 = 0$$

以上より、

$$\lim_{p\to\infty} \frac{A-B}{p} = -\log 2 - 0 + 1 = 1 - \log 2$$

解説

面積を台形と捉えるか定積分で計算するかはどちらでも問題ありませんが、計算量を減らすためには図形の性質（台形）を活用する方が良いでしょう。$A(t)$ を微分する際の商の微分法の計算ミスには注意が必要です。

後半の極限計算では、対数の項の係数が異なるため、$\frac{2p+1}{2p} = 1 + \frac{1}{2p}$ のように分解し、共通の係数を持つ項を $\log$ の引き算としてまとめるのがポイントです。誘導として与えられている極限の形をどう作り出すかが問われています。

答え

(1) $A = p\log(p+1)$

(2) $1 - \log 2$