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数学3 接線・極限との複合問題 30 解説

方針・初手

(1) 三角関数の積和の公式を用いて、左辺の和の形を計算しやすい形に変形する。隣り合う項が相殺し合う形（いわゆる望遠鏡和）を作り出すのがポイントである。

(2) (1)の1つ目の等式を利用する。被積分関数の分母の $\sin x$ を払うように、(1)の式を $\frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} = \cdots$ の形に変形してから積分を行う。

(3) (1)の2つ目の等式を利用する。こちらも両辺を $\sin^2 x$ で割ることで、求める積分の被積分関数が現れる。その後は(2)の結果をうまく活用する。

解法1

(1)

1つ目の等式について、左辺を展開して積和の公式を用いる。

$$\begin{aligned} (\text{左辺}) &= \sin x + 2 \cos 2x \sin x + 2 \cos 4x \sin x + \cdots + 2 \cos 2nx \sin x \\ &= \sin x + \sum_{k=1}^n 2 \cos 2kx \sin x \end{aligned}$$

積和の公式 $2 \cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$ を用いると、$2 \cos 2kx \sin x = \sin(2k+1)x - \sin(2k-1)x$ となる。これを代入すると、

$$\begin{aligned} (\text{左辺}) &= \sin x + \sum_{k=1}^n \{ \sin(2k+1)x - \sin(2k-1)x \} \\ &= \sin x + \{ (\sin 3x - \sin x) + (\sin 5x - \sin 3x) + \cdots + (\sin(2n+1)x - \sin(2n-1)x) \} \\ &= \sin x - \sin x + \sin(2n+1)x \\ &= \sin(2n+1)x = (\text{右辺}) \end{aligned}$$

となり、1つ目の等式が証明された。

2つ目の等式について、左辺を展開して同様に積和の公式を用いる。

$$\begin{aligned} (\text{左辺}) &= \sin^2 x + \sin 3x \sin x + \sin 5x \sin x + \cdots + \sin(2n-1)x \sin x \\ &= \sum_{k=1}^n \sin(2k-1)x \sin x \end{aligned}$$

積和の公式 $\sin A \sin B = \frac{1}{2} \{ \cos(A-B) - \cos(A+B) \}$ を用いると、$\sin(2k-1)x \sin x = \frac{1}{2} \{ \cos(2k-2)x - \cos 2kx \}$ となる。これを代入すると、

$$\begin{aligned} (\text{左辺}) &= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \{ \cos(2k-2)x - \cos 2kx \} \\ &= \frac{1}{2} \{ (1 - \cos 2x) + (\cos 2x - \cos 4x) + \cdots + (\cos(2n-2)x - \cos 2nx) \} \\ &= \frac{1}{2} (1 - \cos 2nx) \end{aligned}$$

半角の公式 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ より、

$$(\text{左辺}) = \sin^2 nx = (\text{右辺})$$

となり、2つ目の等式が証明された。

(2)

(1)の1つ目の等式より、$x > 0$ （すなわち $\sin x \neq 0$）のとき、両辺を $\sin x$ で割ると、

$$\frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} = 1 + 2 \cos 2x + 2 \cos 4x + \cdots + 2 \cos 2nx = 1 + 2 \sum_{k=1}^n \cos 2kx$$

が成り立つ。積分区間 $[a, \frac{\pi}{2}]$ は $x > 0$ を満たすので、この関係式を代入して定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} dx &= \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 + 2 \sum_{k=1}^n \cos 2kx \right) dx \\ &= \left[ x + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sin 2kx \right]_a^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \left( \frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sin k\pi \right) - \left( a + \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sin 2ka \right) \end{aligned}$$

すべての自然数 $k$ について $\sin k\pi = 0$ であるから、

$$\int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} dx = \frac{\pi}{2} - a - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sin 2ka$$

極限 $a \to +0$ をとると、各 $k$ について $\lim_{a \to +0} \sin 2ka = 0$ となるため、

$$\begin{aligned} \lim_{a \to +0} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} dx &= \lim_{a \to +0} \left( \frac{\pi}{2} - a - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sin 2ka \right) \\ &= \frac{\pi}{2} - 0 - 0 = \frac{\pi}{2} \end{aligned}$$

(3)

(1)の2つ目の等式より、$x > 0$ （すなわち $\sin^2 x \neq 0$）のとき、両辺を $\sin^2 x$ で割ると、

$$\frac{\sin^2 nx}{\sin^2 x} = \frac{\sin x + \sin 3x + \cdots + \sin(2n-1)x}{\sin x} = \sum_{k=1}^n \frac{\sin(2k-1)x}{\sin x}$$

が成り立つ。両辺を $a$ から $\frac{\pi}{2}$ まで積分すると、

$$\int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 nx}{\sin^2 x} dx = \sum_{k=1}^n \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2k-1)x}{\sin x} dx$$

ここで、(2)の途中計算において $n$ を $k-1$（ただし $k \ge 1$）に置き換えることを考える。(2)の定積分計算は、任意の自然数に対して成立するのと同様に、$k=1$ のときは被積分関数が $1$ となり極限は $\frac{\pi}{2}$、$k \ge 2$ のときも全く同様の計算で、

$$\int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2k-1)x}{\sin x} dx = \frac{\pi}{2} - a - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{1}{j} \sin 2ja$$

となる。したがって、$a \to +0$ の極限をとると、任意の自然数 $k$ に対して、

$$\lim_{a \to +0} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2k-1)x}{\sin x} dx = \frac{\pi}{2}$$

が成り立つ。ゆえに、求める極限値は、

$$\begin{aligned} \lim_{a \to +0} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 nx}{\sin^2 x} dx &= \lim_{a \to +0} \sum_{k=1}^n \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2k-1)x}{\sin x} dx \\ &= \sum_{k=1}^n \left( \lim_{a \to +0} \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(2k-1)x}{\sin x} dx \right) \\ &= \sum_{k=1}^n \frac{\pi}{2} \\ &= \frac{n\pi}{2} \end{aligned}$$

解説

いわゆる「ディリクレ核」「フェイェール核」に関連する有名な積分の問題である。一見すると計算が困難な被積分関数であるが、前の設問で与えられた等式を活用することで、多項式の積分に帰着させることができる。

(1)の積和の公式による変形は、相殺する項を順に消去していく定石のテクニックである。(2)と(3)では、積分区間に $a$ があるため広義積分を直接扱うことを避ける形になっているが、最終的に $a \to +0$ の極限を取れば、部分的な $\sin$ の項がすべて消え、定数項に由来する値だけが残るという美しい構造になっている。(3)では、(2)の結果が $n$ の値によらず $\frac{\pi}{2}$ になる性質を利用して和をとる点がポイントである。