数学3 接線・極限との複合 問題 31 解説

方針・初手

• (1) (ア)は左辺から右辺を引いた関数の増減を微分を用いて調べる。(イ)は(ア)で示した不等式を利用し、はさみうちの原理を用いて極限を求める。
• (2) $f'(x)$ と $f''(x)$ を計算し、関数の増減・凹凸を調べ、増減表を作成してグラフの概形を描く。
• (3) 与えられた区間における $f(x)$ の符号を確認し、面積を定積分で表す。対数関数を含む積分なので部分積分法を用いる。
• (4) (3)の結果に対して $b \to +0$ の極限をとる。その際、(1)(イ)の結果を活用する。

解法1

(1)

(ア)

$$g(t) = e^{at} - \frac{t^2}{2}$$

とおき、$t \geqq 0$ において $g(t) > 0$ であることを示す。$g(t)$ を $t$ で微分すると、

$$g'(t) = a e^{at} - t$$

$$g''(t) = a^2 e^{at} - 1$$

$a > 1, t \geqq 0$ より $a^2 > 1, e^{at} \geqq 1$ であるから、

$$g''(t) \geqq a^2 \cdot 1 - 1 = a^2 - 1 > 0$$

したがって、$g'(t)$ は $t \geqq 0$ において単調に増加する。

$$g'(0) = a \cdot e^0 - 0 = a > 1 > 0$$

であるから、$t \geqq 0$ において常に $g'(t) > 0$ となる。 よって、$g(t)$ は $t \geqq 0$ において単調に増加し、

$$g(0) = e^0 - 0 = 1 > 0$$

であるから、$t \geqq 0$ において常に $g(t) > 0$ が成り立つ。 以上より、$t \geqq 0$ のとき、

$$e^{at} > \frac{t^2}{2}$$

が成り立つことが示された。

(イ)

$x = e^{-t}$ とおくと、$x \to +0$ のとき $t \to \infty$ となる。

$$f(x) = f(e^{-t}) = (e^{-t})^a \log(e^{-t}) = e^{-at} \cdot (-t) = - \frac{t}{e^{at}}$$

(ア)で示した不等式 $e^{at} > \frac{t^2}{2}$ において、$t > 0$ のとき両辺は正であるから、逆数をとると、

$$0 < \frac{1}{e^{at}} < \frac{2}{t^2}$$

辺々に $t \ (>0)$ を掛けて、

$$0 < \frac{t}{e^{at}} < \frac{2}{t}$$

$t \to \infty$ のとき $\frac{2}{t} \to 0$ であるから、はさみうちの原理より、

$$\lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{at}} = 0$$

したがって、

$$\lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{t \to \infty} \left( - \frac{t}{e^{at}} \right) = 0$$

(2)

$f(x) = x^a \log x \ (x > 0)$ について、

$$f'(x) = a x^{a-1} \log x + x^a \cdot \frac{1}{x} = x^{a-1} (a \log x + 1)$$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x > 0$ より $a \log x + 1 = 0$、すなわち $\log x = -\frac{1}{a}$ より、

$$x = e^{-\frac{1}{a}}$$

のときである。さらに微分して、

$$\begin{aligned} f''(x) &= (a-1) x^{a-2} (a \log x + 1) + x^{a-1} \cdot \frac{a}{x} \\ &= x^{a-2} \{ (a-1)(a \log x + 1) + a \} \\ &= x^{a-2} \{ a(a-1) \log x + 2a - 1 \} \end{aligned}$$

$f''(x) = 0$ となるのは、$x > 0$ より $a(a-1) \log x + 2a - 1 = 0$ のときである。$a > 1$ より $a(a-1) \neq 0$ だから、$\log x = -\frac{2a-1}{a(a-1)}$ より、

$$x = e^{-\frac{2a-1}{a(a-1)}}$$

のときである。 ここで、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値と大小を比較する。

$$-\frac{1}{a} - \left( -\frac{2a-1}{a(a-1)} \right) = \frac{-(a-1) + (2a-1)}{a(a-1)} = \frac{a}{a(a-1)} = \frac{1}{a-1} > 0$$

より、$e^{-\frac{2a-1}{a(a-1)}} < e^{-\frac{1}{a}}$ である。 これをもとに増減表を作成すると、次のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$e^{-\frac{2a-1}{a(a-1)}}$	$\cdots$	$e^{-\frac{1}{a}}$	$\cdots$
$f'(x)$		$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$f''(x)$		$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f(x)$	$(0)$	$\searrow$ (上に凸)	変曲点	$\searrow$ (下に凸)	極小	$\nearrow$ (下に凸)

また、(1)より $\lim_{x \to +0} f(x) = 0$。 さらに、$f(x) = 0$ となるのは $\log x = 0$ より $x=1$。 極小値は $f(e^{-1/a}) = (e^{-1/a})^a \log e^{-1/a} = e^{-1} \cdot \left( -\frac{1}{a} \right) = -\frac{1}{ae}$。

以上より、グラフは原点 $(0,0)$ の空洞から出発し、$x = e^{-\frac{2a-1}{a(a-1)}}$ で変曲点を迎え、$x = e^{-\frac{1}{a}}$ で極小値 $-\frac{1}{ae}$ をとり、点 $(1,0)$ を通って右上に増加していく曲線となる。 （概形は増減表および上記の特徴を満たす曲線である）

変曲点の $x$ 座標は $e^{-\frac{2a-1}{a(a-1)}}$。

(3)

$0 < b < 1$ とする。直線 $x=b$, $y=0$ （$x$軸）および曲線 $y = f(x) \ (x \geqq b)$ で囲まれる図形について考える。 $f(x) = 0$ となるのは $x=1$ であり、$b \leqq x \leqq 1$ の範囲において $x^a > 0, \log x \leqq 0$ であるから、$f(x) \leqq 0$ となる。 したがって、求める面積 $S(b)$ は、

$$\begin{aligned} S(b) &= \int_b^1 \{ 0 - f(x) \} dx \\ &= - \int_b^1 x^a \log x \, dx \end{aligned}$$

部分積分法を用いて計算する。

$$\begin{aligned} S(b) &= - \left[ \frac{x^{a+1}}{a+1} \log x \right]_b^1 + \int_b^1 \frac{x^{a+1}}{a+1} \cdot \frac{1}{x} dx \\ &= - \left( 0 - \frac{b^{a+1}}{a+1} \log b \right) + \frac{1}{a+1} \int_b^1 x^a dx \\ &= \frac{b^{a+1}}{a+1} \log b + \frac{1}{a+1} \left[ \frac{x^{a+1}}{a+1} \right]_b^1 \\ &= \frac{b^{a+1}}{a+1} \log b + \frac{1}{(a+1)^2} (1 - b^{a+1}) \\ &= \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{b^{a+1}}{a+1} \log b - \frac{b^{a+1}}{(a+1)^2} \end{aligned}$$

(4)

(3)で求めた $S(b)$ に対して、$b \to +0$ の極限を考える。

$$\lim_{b \to +0} S(b) = \lim_{b \to +0} \left( \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{b^{a+1}}{a+1} \log b - \frac{b^{a+1}}{(a+1)^2} \right)$$

ここで、$a > 1$ より $a+1 > 0$ であるから、

$$\lim_{b \to +0} b^{a+1} = 0$$

また、(1)(イ)より $\lim_{x \to +0} x^a \log x = 0$ であることを用いると、

$$\begin{aligned} \lim_{b \to +0} b^{a+1} \log b &= \lim_{b \to +0} b \cdot (b^a \log b) \\ &= 0 \cdot 0 = 0 \end{aligned}$$

となる。したがって、

$$\lim_{b \to +0} S(b) = \frac{1}{(a+1)^2} + 0 - 0 = \frac{1}{(a+1)^2}$$

解説

微積分を利用した関数解析の標準的な問題である。

• (1) は対数関数の $x \to +0$ での極限の振る舞い（$x^a \log x \to 0$）を、指数関数の発散の強さを経由して証明させる典型的な誘導である。自力でもこの不等式評価を行えるようにしておきたい。
• (2) は第2次導関数まで丁寧に計算し、極値と変曲点の位置関係を正しく把握できるかが問われている。文字定数 $a$ が含まれるため、計算ミスに注意しつつ、大小関係を立式して比較する。
• (3)(4) は面積の計算から広義積分に相当する極限の計算である。部分積分を正確に行い、(1)の誘導を見落とさずに極限計算に利用することがポイントである。

答え

(1)

(ア) 略（解説参照）

(イ) $0$

(2)

グラフの概形は $x \to +0$ で $y \to 0$ に近づき、$x = e^{-\frac{2a-1}{a(a-1)}}$ で変曲点、$x = e^{-\frac{1}{a}}$ で極小値 $-\frac{1}{ae}$ をとり、$x=1$ で $x$ 軸と交わり右上がりに発散する曲線となる。

変曲点の $x$ 座標: $e^{-\frac{2a-1}{a(a-1)}}$

(3)

$S(b) = \frac{1}{(a+1)^2} + \frac{b^{a+1}}{a+1} \log b - \frac{b^{a+1}}{(a+1)^2}$

(4)

$\frac{1}{(a+1)^2}$