トップ› 基礎問題› 数学3› 積分法› 接線・極限との複合› 問題 32

数学3 接線・極限との複合問題 32 解説

方針・初手

(1) 与えられた関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求め、増減を調べて最小値が $0$ 以上になることを示す。

(2) (1) で証明した不等式を変形し、$x \log x$ を他の関数で挟み込み、はさみうちの原理を用いて極限を求める。

(3) 導関数と第2次導関数を求めて増減と凹凸を調べ、(2) で求めた極限を用いてグラフの概形を描く。

(4) 指定された領域の上下関係に注意して定積分を立式し、部分積分法を用いて面積を求める。その後、(2) の極限を利用して $a \to +0$ の極限を計算する。

解法1

(1)

$$f(x) = \log x - \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \log x - x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}$$

を $x$ で微分すると、

$$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$$

$$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}}$$

通分して整理すると、

$$f'(x) = \frac{2\sqrt{x} - x - 1}{2x\sqrt{x}} = -\frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{2x\sqrt{x}} = -\frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{2x\sqrt{x}}$$

となる。 $0 < x \leqq 1$ において、$2x\sqrt{x} > 0$ であり、$x \neq 1$ すなわち $0 < x < 1$ のときは $(\sqrt{x} - 1)^2 > 0$ より $f'(x) < 0$ となる。したがって、$f(x)$ は $0 < x \leqq 1$ で単調に減少する。また、$x = 1$ のとき、

$$f(1) = \log 1 - \sqrt{1} + \frac{1}{\sqrt{1}} = 0 - 1 + 1 = 0$$

である。ゆえに、$0 < x \leqq 1$ のとき、

$$f(x) \geqq f(1) = 0$$

が成り立つ。

(2)

(1) の結果より、$0 < x \leqq 1$ において、

$$\log x - \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geqq 0$$

$$\log x \geqq \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$$

両辺に $x > 0$ を掛けると、不等号の向きは変わらず、

$$x \log x \geqq x\sqrt{x} - \sqrt{x}$$

が成り立つ。一方、$0 < x \leqq 1$ において $\log x \leqq 0$ であり、$x > 0$ より、

$$x \log x \leqq 0$$

であるから、

$$x\sqrt{x} - \sqrt{x} \leqq x \log x \leqq 0$$

となる。ここで、$x \to +0$ の極限をとると、

$$\lim_{x \to +0} (x\sqrt{x} - \sqrt{x}) = 0 - 0 = 0$$

であるから、はさみうちの原理より、

$$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$$

が成り立つ。

(3)

関数 $y = x \log x$ の定義域は真数条件より $x > 0$ である。 $y$ を微分すると、

$$y' = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$$

さらに微分すると、

$$y'' = \frac{1}{x}$$

$x > 0$ のとき常に $y'' > 0$ であるため、グラフは常に下に凸である。 $y' = 0$ となるのは $\log x = -1$ より $x = \frac{1}{e}$ のときである。また、(2) より $\lim_{x \to +0} y = 0$ であり、$\lim_{x \to \infty} y = \infty$ である。増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} \hline x & (0) & \cdots & \frac{1}{e} & \cdots \\ \hline y' & & - & 0 & + \\ \hline y'' & & + & + & + \\ \hline y & (0) & \searrow & -\frac{1}{e} & \nearrow \\ \hline \end{array}$$

したがって、グラフは原点 $(0,0)$ を白丸として出発し、下に凸の状態で点 $\left(\frac{1}{e}, -\frac{1}{e}\right)$ で極小かつ最小となり、点 $(1,0)$ を通って右上がりに増加していく曲線となる。

(4)

領域は $a \leqq x \leqq 1$ かつ $x \log x \leqq y \leqq 0$ である。 $0 < a < 1$ であり、この積分区間において常に $x \log x \leqq 0$ であるから、求める面積 $S(a)$ は、

$$S(a) = \int_{a}^{1} (0 - x \log x) \,dx = -\int_{a}^{1} x \log x \,dx$$

部分積分法を用いて計算すると、

$$\int_{a}^{1} x \log x \,dx = \left[ \frac{1}{2} x^2 \log x \right]_{a}^{1} - \int_{a}^{1} \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} \,dx$$

$$= \left( 0 - \frac{1}{2} a^2 \log a \right) - \frac{1}{2} \int_{a}^{1} x \,dx$$

$$= -\frac{1}{2} a^2 \log a - \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{a}^{1}$$

$$= -\frac{1}{2} a^2 \log a - \frac{1}{4} (1 - a^2)$$

$$= -\frac{1}{2} a^2 \log a + \frac{1}{4} a^2 - \frac{1}{4}$$

となる。したがって、

$$S(a) = \frac{1}{2} a^2 \log a - \frac{1}{4} a^2 + \frac{1}{4}$$

ここで、$a \to +0$ のときの極限を考える。 $a^2 \log a = a \cdot (a \log a)$ と変形すると、(2) より $\lim_{a \to +0} a \log a = 0$ であるから、

$$\lim_{a \to +0} a^2 \log a = \left( \lim_{a \to +0} a \right) \cdot \left( \lim_{a \to +0} a \log a \right) = 0 \cdot 0 = 0$$

となる。ゆえに、

$$\lim_{a \to +0} S(a) = \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$

解説

関数の極限とはさみうちの原理、および微分積分を用いたグラフの描画と面積計算を問う標準的な総合問題である。 (1) と (2) の流れは $\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ を示すための代表的な誘導であり、対数関数を無理関数で評価する手法を学べる良い題材である。 (3) のグラフ描画においては、原点に近づく際の極限値が $(0, 0)$ に収束することを (2) で示しているため、原点は白丸となることに注意して曲線を描く必要がある。 (4) では面積計算における部分積分と、最後の極限計算で再び (2) の結果を用いる点がポイントとなる。式変形の中で $a \log a$ の塊を作ることができれば、誘導を適切に活用して極限が求まる。