数学3 接線・極限との複合問題 34 解説

方針・初手

直線の方程式を整理し、点 $(x, y)$ が通過領域に含まれるための条件を考えます。アプローチとしては大きく2つあり、1つは直線の式を $t$ の方程式とみなし、それが $0 < t < 1$ に実数解を持つ条件を考える方法（逆像法）。もう1つは、$x$ を定数と固定して $t$ を動かしたときの $y$ のとりうる値の範囲を調べる方法（順像法・1文字固定法）です。いずれの手法でも、最終的な領域の不等式を導き出し、積分によって面積を計算します。

解法1

点 $(x, y)$ が求める通過領域に含まれる条件は、$x > 0, y > 0$ であり、かつ $t$ の方程式

$$tx + (1-t)y = t(1-t)$$

が $0 < t < 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解を持つことである。方程式を $t$ について整理すると、

$$t^2 + (x - y - 1)t + y = 0$$

となる。左辺を $f(t)$ とおく。

$$f(t) = t^2 + (x - y - 1)t + y$$

$x > 0, y > 0$ であるから、

$$f(0) = y > 0$$

$$f(1) = 1 + x - y - 1 + y = x > 0$$

となる。したがって、放物線 $s = f(t)$ は $t=0, t=1$ のとき常に $s > 0$ となる。これにより、$f(t) = 0$ が $0 < t < 1$ に少なくとも1つの解を持つためには、$0 < t < 1$ の範囲に2つの解（重解を含む）を持つ必要がある。これは、以下の3つの条件が同時に成り立つことと同値である。

(1) 判別式 $D \ge 0$ (2) 軸の $t$ 座標が $0 < t < 1$ の範囲にある (3) $f(0) > 0$ かつ $f(1) > 0$ （すでに満たされている）

(1) について

$$D = (x - y - 1)^2 - 4y \ge 0$$

$$(x - y - 1)^2 \ge 4y$$

$x > 0, y > 0$ より $x - y - 1 \le -2\sqrt{y}$ または $x - y - 1 \ge 2\sqrt{y}$ すなわち、$x \le y - 2\sqrt{y} + 1 = (\sqrt{y} - 1)^2$ または $x \ge y + 2\sqrt{y} + 1 = (\sqrt{y} + 1)^2$ ここで $x > 0$ であるから、

$$\sqrt{x} \le |\sqrt{y} - 1| \quad \text{または} \quad \sqrt{x} \ge \sqrt{y} + 1 \quad \cdots (A)$$

(2) について放物線の軸の方程式は $t = -\frac{x - y - 1}{2}$ であるから、

$$0 < -\frac{x - y - 1}{2} < 1$$

$$-2 < x - y - 1 < 0$$

$$-1 < x - y < 1 \quad \cdots (B)$$

ここで、$(A)$ の $\sqrt{x} \ge \sqrt{y} + 1$ の場合を考える。 $\sqrt{x} - \sqrt{y} \ge 1 > 0$ であり、$x \ge (\sqrt{y} + 1)^2 = y + 2\sqrt{y} + 1$ より

$$x - y \ge 2\sqrt{y} + 1$$

$y > 0$ であるから $2\sqrt{y} + 1 > 1$ となり、$x - y > 1$ を得る。これは $(B)$ の $-1 < x - y < 1$ と矛盾するため不適である。

したがって、$(A)$ より $\sqrt{x} \le |\sqrt{y} - 1|$ である。

(i) $0 < y < 1$ のとき $\sqrt{y} - 1 < 0$ より

$$\sqrt{x} \le 1 - \sqrt{y} \iff \sqrt{x} + \sqrt{y} \le 1$$

このとき $\sqrt{x} < 1$ より $0 < x < 1$ であり、$0 < x < 1, 0 < y < 1$ より $-1 < x - y < 1$ は常に成り立つ（$(B)$ を満たす）。

(ii) $y \ge 1$ のとき $\sqrt{y} - 1 \ge 0$ より

$$\sqrt{x} \le \sqrt{y} - 1 \iff \sqrt{y} \ge \sqrt{x} + 1$$

両辺正なので平方して

$$y \ge x + 2\sqrt{x} + 1 \implies x - y \le -2\sqrt{x} - 1$$

$x > 0$ であるから $-2\sqrt{x} - 1 < -1$ となり、$x - y < -1$ を得る。これは $(B)$ の $-1 < x - y < 1$ と矛盾するため不適である。

以上より、求める通過領域は

$$\sqrt{x} + \sqrt{y} \le 1 \quad \text{かつ} \quad x > 0, y > 0$$

となる。

これを図示すると、$xy$ 平面において曲線 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1$ と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれた領域の内部となる（境界は曲線部分のみ含み、$x$ 軸、$y$ 軸上の点は含まない）。

面積 $S$ は次のように求められる。

$$S = \int_0^1 (1 - \sqrt{x})^2 dx$$

$$S = \int_0^1 (1 - 2x^{\frac{1}{2}} + x) dx$$

$$S = \left[ x - \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1$$

$$S = 1 - \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$

解法2

$x = k \ (k > 0)$ と固定して、$t$ が $0 < t < 1$ を動くときの $y$ のとりうる値の範囲を調べる。直線の方程式より

$$tk + (1-t)y = t(1-t)$$

$0 < t < 1$ より $1-t \neq 0$ であるから、$y$ について解くと

$$y = \frac{t(1-t) - kt}{1-t} = t - \frac{kt}{1-t}$$

これを $t$ の関数とみて $g(t) = t - \frac{kt}{1-t}$ とおく。微分すると、

$$g'(t) = 1 - k \cdot \frac{1 \cdot (1-t) - t \cdot (-1)}{(1-t)^2} = 1 - \frac{k}{(1-t)^2} = \frac{(1-t)^2 - k}{(1-t)^2}$$

$g'(t) = 0$ とすると $(1-t)^2 = k$ となる。 $1-t > 0, k > 0$ より $1-t = \sqrt{k} \implies t = 1 - \sqrt{k}$。これが $0 < t < 1$ に含まれる条件は $0 < 1 - \sqrt{k} < 1 \iff 0 < k < 1$ である。

(i) $0 < k < 1$ のとき $0 < t < 1-\sqrt{k}$ で $1-t > \sqrt{k} \implies g'(t) > 0$ $1-\sqrt{k} < t < 1$ で $1-t < \sqrt{k} \implies g'(t) < 0$ よって、$g(t)$ は $t = 1-\sqrt{k}$ で極大かつ最大となる。

$$g(1-\sqrt{k}) = 1-\sqrt{k} - \frac{k(1-\sqrt{k})}{\sqrt{k}} = 1-\sqrt{k} - \sqrt{k}(1-\sqrt{k}) = (1-\sqrt{k})^2$$

また、$t \to +0$ で $g(t) \to 0$、$t \to 1-0$ で $g(t) \to -\infty$ となるから、$y$ のとりうる値の範囲は $y \le (1-\sqrt{k})^2$。条件 $y > 0$ を考慮すると、$0 < y \le (1-\sqrt{k})^2$ となる。

(ii) $k \ge 1$ のとき $0 < t < 1$ において常に $1-t < 1 \le \sqrt{k}$ であるから $g'(t) < 0$ となる。 $g(t)$ は単調減少であり、$t \to +0$ で $g(t) \to 0$ であるから、常に $g(t) < 0$。よって $y > 0$ を満たす $y$ は存在しない。

以上より、各 $x > 0$ に対して $y > 0$ の範囲にある点の条件は

$$0 < x < 1 \quad \text{かつ} \quad 0 < y \le (1-\sqrt{x})^2$$

これは $\sqrt{y} \le 1-\sqrt{x} \iff \sqrt{x} + \sqrt{y} \le 1 \ (x>0, y>0)$ と同値である。（図示と面積の計算は解法1と同様）

解説

通過領域を求める際の典型的なアプローチである「逆像法（解の配置問題に帰着）」と「順像法（1文字固定して関数の値域を調べる）」の両方が有効に機能する良問です。逆像法は変数が混ざったまま処理できる一方で、条件式（判別式や軸の条件）が複雑になりやすく、同値変形や場合分けで論理的な漏れが生じやすい点に注意が必要です。本問においては、順像法を採用し $y$ を $t$ で表す方が見通しが良く、数学IIIの微分の知識（または相加・相乗平均の関係の活用）があれば、計算ミスを防ぎやすく安全に完答できます。