数学3 接線・極限との複合問題 36 解説

方針・初手

(1) は定積分の基本的な計算問題である。被積分関数を展開して項別に積分する。(2) は分数関数の値域を求めたのち、それを利用して積分値の極限の評価を行う。(3) は部分積分を用いて漸化式を導出する。微分の対象と積分の対象を適切に選ぶことがポイントとなる。(4) は (3) で得られた漸化式を利用して無限級数の和を求める。漸化式を変形して階差数列の形（望遠鏡和）に帰着させる。

解法1

(1)

与えられた式に $n=1$ を代入して計算する。

$$I_1 = \int_2^3 \frac{x-3}{x} dx$$

$$= \int_2^3 \left( 1 - \frac{3}{x} \right) dx$$

$$= \left[ x - 3 \log |x| \right]_2^3$$

$$= (3 - 3 \log 3) - (2 - 3 \log 2)$$

$$= 1 - 3 \log \frac{3}{2}$$

(2)

$f(x) = \frac{x-3}{x} = 1 - \frac{3}{x}$ とおく。

$2 \leqq x \leqq 3$ において、関数 $f(x)$ は単調増加する。

$f(2) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$

$f(3) = 1 - \frac{3}{3} = 0$

したがって、$2 \leqq x \leqq 3$ における $f(x)$ のとりうる値の範囲は

$$-\frac{1}{2} \leqq \frac{x-3}{x} \leqq 0$$

よって、絶対値をとった $\left| \frac{x-3}{x} \right|$ のとりうる値の範囲は

$$0 \leqq \left| \frac{x-3}{x} \right| \leqq \frac{1}{2}$$

また、$I_n = \int_2^3 \frac{1}{n} \left( \frac{x-3}{x} \right)^n dx$ であるから、積分の絶対値の性質を用いて評価する。

$$|I_n| = \left| \int_2^3 \frac{1}{n} \left( \frac{x-3}{x} \right)^n dx \right|$$

$$\leqq \int_2^3 \left| \frac{1}{n} \left( \frac{x-3}{x} \right)^n \right| dx$$

ここで、先ほど求めた範囲 $0 \leqq \left| \frac{x-3}{x} \right| \leqq \frac{1}{2}$ を用いると

$$\int_2^3 \left| \frac{1}{n} \left( \frac{x-3}{x} \right)^n \right| dx \leqq \int_2^3 \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2} \right)^n dx$$

$$= \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2} \right)^n [x]_2^3$$

$$= \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2} \right)^n$$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \left( \frac{1}{2} \right)^n \to 0$ である。さらに $|I_n| \geqq 0$ であるから、はさみうちの原理より

$$\lim_{n \to \infty} I_n = 0$$

(3)

$I_{n+1}$ について部分積分法を適用する。$x^{-n-1}$ を積分側に選ぶ。

$$I_{n+1} = \int_2^3 \frac{(x-3)^{n+1}}{(n+1)x^{n+1}} dx$$

$$= \int_2^3 \frac{(x-3)^{n+1}}{n+1} \cdot x^{-n-1} dx$$

$$= \int_2^3 \frac{(x-3)^{n+1}}{n+1} \cdot \left( \frac{x^{-n}}{-n} \right)' dx$$

$$= \left[ \frac{(x-3)^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{x^{-n}}{-n} \right]_2^3 - \int_2^3 \left( \frac{(x-3)^{n+1}}{n+1} \right)' \cdot \frac{x^{-n}}{-n} dx$$

$$= \left[ \frac{(x-3)^{n+1}}{-n(n+1)x^n} \right]_2^3 - \int_2^3 \frac{(n+1)(x-3)^n}{n+1} \cdot \frac{x^{-n}}{-n} dx$$

ここで、右辺の第1項を計算すると

$$\left[ \frac{(x-3)^{n+1}}{-n(n+1)x^n} \right]_2^3 = 0 - \frac{(2-3)^{n+1}}{-n(n+1)2^n}$$

$$= \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)2^n}$$

$$= \frac{(-1) \cdot (-1)^n}{n(n+1)2^n}$$

$$= - \frac{1}{n(n+1)} \left( -\frac{1}{2} \right)^n$$

右辺の第2項は

$$- \int_2^3 (x-3)^n \cdot \frac{x^{-n}}{-n} dx = \int_2^3 \frac{(x-3)^n}{nx^n} dx = I_n$$

したがって、これらをまとめると

$$I_{n+1} = - \frac{1}{n(n+1)} \left( -\frac{1}{2} \right)^n + I_n$$

すなわち

$$I_{n+1} = I_n - \frac{1}{n(n+1)} \left( -\frac{1}{2} \right)^n$$

(4)

(3) の結果を変形すると

$$\frac{1}{n(n+1)} \left( -\frac{1}{2} \right)^n = I_n - I_{n+1}$$

が成り立つ。求める無限級数の第 $m$ 項までの部分和を $S_m$ とすると、

$$S_m = \sum_{n=1}^m \frac{1}{n(n+1)} \left( -\frac{1}{2} \right)^n$$

$$= \sum_{n=1}^m (I_n - I_{n+1})$$

$$= (I_1 - I_2) + (I_2 - I_3) + \cdots + (I_m - I_{m+1})$$

途中の項が互いに打ち消し合うため、次のように簡略化される。

$$= I_1 - I_{m+1}$$

(2) の結果より $\lim_{m \to \infty} I_{m+1} = 0$ であるから、

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \left( -\frac{1}{2} \right)^n = \lim_{m \to \infty} S_m$$

$$= \lim_{m \to \infty} (I_1 - I_{m+1})$$

$$= I_1$$

(1) の結果より、$I_1 = 1 - 3 \log \frac{3}{2}$ であるため、

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \left( -\frac{1}{2} \right)^n = 1 - 3 \log \frac{3}{2}$$

解説

定積分の漸化式から極限や級数の和を導く、入試で頻出の誘導問題である。

(2) は積分値の極限を求める際に、被積分関数の絶対値の最大値で上から評価し、はさみうちの原理に持ち込むという非常に重要な定石処理を用いている。(3) では部分積分の選択に少し工夫が必要となるが、$x^{-n}$ の形から微分・積分する関数を見極めることが鍵である。(4) では、(3) で得られた漸化式を移項することで $a_n = f(n) - f(n+1)$ の形が作れることに着目する。これにより部分和の途中項がすべて相殺され、(1) と (2) の結果をそのまま適用できる見事な構成となっている。